Dimostrando che il set è chiuso

Question

Devo controllare se è impostato $A=\left\{(x,y)|xy\ge0\right\}$è aperto o chiuso. Ho dimostrato che non è aperto. Quando voglio controllare se è chiuso, lo dimostra$A^C=\left\{(x,y)|x<0\lor y<0\right\}\cap\left\{(x,y)|x>0 \lor y>0\right\}$ è aperto, dove $A^C$ è complemento di $A$. Quindi se prendo il punto$(-1,0)$ è facile dimostrarlo $A^C$non è aperto, quindi non è nemmeno chiuso. È corretto? Set iniziale$A$ Ho scritto mi piace $A=\left\{(x,y)|x\ge0\land y\ge0\right\}\cup\left\{(x,y)|x\le0\land y\le0\right\}$, ed è così che ho ottenuto $A^C$.

Answer 1

Se stai considerando i punti $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ poi $A^C=\left\{(x,y)|x<0\land y>0\right\}\cup\left\{(x,y)|x>0 \land y<0\right\}$.

Per ogni $(x,y)\in\ A^C$ permettere $d_1=\text{distance of $(x, y)$ to the axis $Bue$}$ e $d_2=\text{distance of $(x, y)$ to the axis $Oy$}$.

Quindi per $d=\frac{\text{min}\{d_1,d_2\}}{2}$ il disco del centro $(x,y)$ e raggio $d$ è contenuto in $A^C$.