$\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

Question

$\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

Ho sentito che l'unico approccio per trovare i limiti è prendere il registro da entrambe le parti $y=\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

$\ln y=\lim_{x\rightarrow 0}2x \ln(\ln x^{2})$

Vicino $0$ , $\ln(\ln x^{2})$ sarà $\ln(- \infty)$. che è indefinito.

Quindi devo concludere che il limite non esiste?

Answer 1

Come notato in alcuni commenti, ce l'abbiamo

$$(\ln (x^{2}))^{2x}$$

non è un'espressione ben definita come $x\to 0$ quindi in alcuni contesti, come corsi di calcolo introduttivo, concludiamo improvvisamente che non ha senso considerare il limite a quel punto.

Ad ogni modo, come osservato da altri utenti nei commenti, quando $x=\frac p q$ con $p,q \in \mathbb Z$ e $q$ dispari possiamo valutare algebricamente l'espressione come $x\to 0$ e, entro questa restrizione, il limite è $1$.

In effetti ce l'abbiamo

$$(\ln (x^{2}))^{2x}=\left|\ln (x^{2})\right|^{2x}=e^{2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)}$$

e da $x=\pm e^{-y}$ con $y \to \infty$

$$2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)=\pm \frac{2\ln (2y)}{e^y}\to 0$$

perciò

$$(\ln (x^{2}))^{2x}\to e^0=1$$

Il problema con questo approccio più generale è quando $2x=\frac p q$ con $p,q \in \mathbb Z$ entrambe le probabilità ce l'abbiamo

$$(\ln (x^{2}))^{2x}=-\left|\ln (x^{2})\right|^{2x}=-e^{2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)}$$

e il limite è $-1$ in questo caso.

Quindi per concludere possiamo dire che il limite non esiste nemmeno per la restrizione razionale per $x$ in cui l'espressione può essere ben definita.

Answer 2

Utilizzando $$\big[\log ^2(x)\big]^{2 x}=\exp\Big[2x \log\Big(\big[\log ^2(x)\big] \Big]$$

Per piccoli valori di $x$

$$\big[\log ^2(x)\big]^{2 x}=1+2 x \log \left(\log ^2(x)\right)+2 x^2 \log ^2\left(\log ^2(x)\right)+\cdots$$

Cercando $x=\frac 1{e^4}$ il lhs è $256^{\frac{1}{e^4}}\approx1.10690$ mentre l'espansione troncata dà $$1+\frac{2 \log ^2(16)}{e^8}+\frac{\log (256)}{e^4}\approx 1.10672$$

Il limite è $1$.

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Se il problema è $\big[\log (x^2)\big]^{2 x}$, quindi, per piccoli $x$ $$\big[\log (x^2)\big]^{2 x}=1+2 x \log ( \log (x^2))+2 x^2 \log ^2( \log (x^2))+\cdots$$ e il limite è $1$ ancora.