Proprietà della funzione Injective-Continuous su Compact-set.

Question

Se $A \subset\mathbb{R}^n$ dove A è compatto e $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ è continuo.

Se f è iniettiva, i punti in $A$ al quale $f$ raggiunge i massimi globali ei minimi sono punti di confine di $A$. L'affermazione è vera? Il motivo di questa domanda viene da qui .

Answer 1

Chiaramente la tua affermazione è vera se $n=1$ e $A$è un intervallo compatto. Una funzione continua iniettiva attiva$A$ è in aumento o in diminuzione e i massimi e i minimi globali si trovano su entrambi gli estremi dell'intervallo.

Assumere $f$ prende il suo massimo globale a $x_0\in A$ e quello $x_0$ è un punto interiore di $A$. Quindi considera un segmento di linea $$\mathbf{r}(t)=x_0+te_1$$ dove $e_1=(1, 0, 0,...,0)$. Per abbastanza piccolo$t$, noi abbiamo $\mathbf{r}(t)\in A$ quindi la funzione $g(t)=f(\mathbf{r}(t))$ è ben definito in un piccolo intervallo compatto $[-\delta,\delta]$ contenente $t=0$. Da allora è iniettabile$f$ è iniettivo e anche continuo.

Secondo il nostro argomento quando $n=1$ ne consegue che $g$ prende il suo massimo sul confine di $[-\delta,\delta]$ contraddicendo il fatto che $g(0)=f(\mathbf{r}(0))=f(x_0)$ è il massimo globale di $f$.

L'argomento è identico per un minimo globale invertendo il segno di $f$.