Seconda derivata implicita generale

Question

Supponi di avere una funzione $y = y(x(t))$. Prendendo la derivata prima rispetto a t avremmo:

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} $$

Sono un po 'bloccato nel cercare di determinare la seconda derivata, ma questo è quello che ho in questo momento:

$$ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dx}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$

So che non è corretto, ma non sono esattamente sicuro di cosa mi manchi.

Answer 1

Per prima cosa usa la regola del prodotto per ottenere

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)\\\\ &=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2}\tag1 \end{align}$$

Successivamente, applica la regola della catena al secondo termine a destra di $(1)$ trovare

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{dx}{dt}\tag2$$

Sostituzione di $(2)$ nel $(1)$ produce l'ambito risultato

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2} \end{align}$$

E abbiamo finito!