첫 번째 HK 정리와 두 번째 HK 정리 사이의 관계는 무엇입니까?

Jan 20 2021

첫 번째 Hohenberg-Kohn (HK) 정리 : 외부 잠재력$v(\vec{r})$ 사소한 가산 상수 내에서 기저 상태 전자 밀도에 의해 결정됩니다. $\rho(\vec{r})$.

기본 양자 역학에서 우리는 다음을 알고 있습니다. $v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. 첫 번째 HK 정리에 따르면, 우리는$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. 본질적으로 첫 번째 HK 정리는 외부 잠재력과지면 밀도 간의 일대일 매핑을 증명합니다.$\rho$ 다 전자 시스템에서.

두 번째 HK 정리 : 밀도의 보편적 인 함수가 존재합니다.$F_{HK}[\rho']$, 모든 $N$-대표 가능한 밀도 ($\textit{i.e.}$, 파동 함수에서 나오는 모든 밀도 $N$-전자 시스템) $\rho(\vec{r})$, 주어진 수의 전자를 생성 $N$, 에너지 기능은, $$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$ 어느 $E_g$ 지면 상태 에너지이며 밀도가 $\rho'(\vec{r})$ 아마도 퇴화 될 수있는지면 밀도 $\rho_0'(\vec{r})$ 외부 잠재력을 위해 $v(\vec{r})$.

두 진술에서 나는 두 정리 사이에 어떤 연관성을 볼 수 없습니다. 그렇다면 두 정리 사이의 관계는 무엇입니까? 만약$F_{HK}(\rho')$지면 상태 밀도의 함수이므로 두 정리 사이에 연결을 구축 할 수 있습니다. 그러나 밀도$F_{HK}[\rho]$ 지상 밀도가 필요하지 않습니다.

  • 첫 번째 HK 정리에 대해 : http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
  • 두 번째 HK 정리에 대해 : https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

답변

11 wcw Jan 20 2021 at 23:03

표기법을 사용하여 범용 기능에 대한 정의는 다음과 같습니다.

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

어디 $\hat{T}$$\hat{W}$각각 운동 및 전자-전자 상호 작용 연산자입니다. 이 정의는 밀도와 그에 상응하는 기저 상태 파동 함수 간의 일대일 매핑 (즉,$\psi_0$ 의 기능입니다 $\rho$), 당신이 찾고있는 연결 고리라고 생각합니다.

6 Hebo Jan 20 2021 at 23:00

공식적인 연결은 첫 번째 정리가 두 번째 정리의 증명에 사용된다는 것입니다. 실제로 두 번째는 다음과 같은 원칙의 번역입니다.$E[\Psi']$ 올바른지면 상태 파동 함수에서 최소값이 있습니다. $\Psi$, 일대일 통신 사용 $\rho \leftrightarrow \Psi$ 첫 번째 정리에서 알 수 있습니다.

파생 된 내용은 Kohn과 Hohenberg 의 원본 논문 에서 찾을 수 있습니다 (파트 I-2.). 매우 짧고 읽기 쉬우므로 살펴볼 가치가 있습니다.