기능에 대한 불평등 $\arctan(x)$

Question

나는 그것을 보여주고 싶다 $$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$ 증가하고있다 $(0, \infty)$. 나는 그것을 플롯함으로써 이것을 명확하게 볼 수 있지만 엄격하게 작성하기 위해 고군분투하고 있습니다. 도함수가 항상이 범위에서 양수임을 보여주는 것으로 충분합니다 (이는 플로팅에서 명확함). 우리는$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$ 다시 한번 보여 주면 충분합니다. $$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(그리고 다시 말하지만, 이것은 플로팅에서 분명합니다). 나는 도함수를 취하는 토끼 구멍 아래로 뛰어 들었습니다.$g$ 뿐만 아니라 (이기 때문에 $0$ ...에서 $x = 0$ 다시 보여 주면 충분합니다. $g' \ge 0$) 나에게 즉시 유용한 정보를 제공하지 않습니다. 할 수 있으면 도와주세요

Answer 1

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ 파생되는 $${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ 파생되는 $$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

Answer 2

대신 고려 $ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. 참고$g(0) = 0$, 그래서 그것을 보여 주면 충분합니다 $g'(x) = 0$ ...에 대한 $x \ge 0$.

지금, $\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. 따라서 고려하는 것으로 충분합니다.$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$ 그리고 그것을 보여 $h(x) \ge 0$ ...에 대한 $x \ge 0$. 그러나$h(0) = 0$, 및 $$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$ 모든 $x$. 이것으로 증명이 완료되었습니다.