증명에서 신원으로 취급되는 동형까지의 신원
Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry, 1999, p. 17-18의 역 매핑 정리에 대한 다음 추론에서, 증명에는 첫 번째 단계와 마지막 단계라는 두 가지가 있습니다.
E와 E 사이에 동형까지의 정체성이있는 경우 $ F_1 $ 에 의해 설립 $ f'(x_0) $, 증명에 대한 고려를 실제 신원으로 제한 할 수있는 이유는 무엇입니까? 이것은 증명에서 여러 번 보았지만 여기서 수행 할 수있는 이유와이를 허용하기 위해 정확한 상황이 증명에 있어야하는 이유를 이해하지 못합니다.
나는 왜 지역 역수인지 모르겠다. $ \big( \varphi'(0,0) \big)^{-1} $증명의 끝에서 g라고 부르는는 거기에 사용 된 맵 g에 대한 추론에 정의 된 두 가지 요구 사항을 충족합니다.
도움을 주셔서 감사합니다.
메모: $E, F_1, F_2 $Banach 공간입니다. "모피 즘"은$ C^p $-지도 $ p \geq 1 $. "지역 동형"은 지역$ C^p $-동형 (dt .: lokaler $ C^p $-Diffeomorphismus). "상단 선형 동형"은 위상 벡터 공간 간의 동형을 의미합니다.
다음 그림이 도움이 될 수 있습니다.
답변
증거는 실제로 잘못 wrt입니다. $\varphi'(0,0)$. 신분증을 할 필요도 없습니다$E=F_1$; 그것들이 다르다고 생각할 때 얻는 복잡성은 매우 관리하기 쉽습니다. 또한 toplinear라는 단어를 사용하는 것은 범죄입니다. 두 가지 질문을 염두에두고 증명을 다시 작성하겠습니다.
밝히다 $$\varphi: U\times F_2\to F_1\times F_2, \qquad (x,y)\mapsto f(x)+(0,y)$$ 그런 다음 파생 $\varphi$ ...에서 $(x_0,0)$ 와 동등하다 $f'(x_0)+(0,\mathrm{id}_{F_2})$. 이후$f'(x_0)$ 가치가있다 $F_1$ 선형 동형이 있습니다. $\varphi'(x_0,0)$ 또한 선형 동형입니다.
역함수 정리에 의해 이웃이 있다는 것은 다음과 같습니다. $V\subseteq U\times F_2$ 의 $(x_0,0)$ 그래서 $\varphi\lvert_V$ diffeomorphism입니다 (내포하는 것으로 이해 $p$-배 차별화 가능). 허락하다$h$ 역을 나타내 다 $\varphi\lvert_V$ 정의 $g:=(f'(x_0),\mathrm{id}_{F_2})\circ h$. diffeomorphisms의 구성으로$g$diffeomorphism입니다. 허락하다$U_1$ 투영하다 $V$ 에 $E$ 구성 요소.
그런 다음 $x\in U_1$: $$g(f(x)) = (f'(x_0), \mathrm{id}_{F_2})\left[h(\varphi(x,0))\right]= (f'(x_0),\mathrm{id}_{F_2}) [(x,0)] = (f'(x_0)[x],0)$$ 과 $g\circ f$ 가치가있다 $F_1\times\{0\}\subseteq F_1\times F_2$.