삼각형의 둘레를 증명 $MNC$ 삼각형의 절반 둘레와 같습니다. $ABC$

Question

에 $ABC$ 정삼각형. $K$ 의 중간 점 $AB$. $M$ 과 $N$ 눕다 $AC$ 과 $BC$각기. 만약$\angle MKN=60°$, 그런 다음 $\triangle MNC$ 반 둘레와 같습니다. $\triangle ABC$.

Answer 1

먼저 왼쪽 그림을보세요.

거울 $N$ 에 관하여 $CK$, 순리에 맡기다 $N'$. 우리는$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. 따라서$MKNN'$공동 순환입니다. 따라서$\triangle MKN$에 대한 거울 이미지 $CK$ 같은 circumcircle을 공유 $\triangle MKN$. 따라서 중심$\triangle MKN$circumcircle 거짓말 $CK$.

이제 각도 이등분을 그립니다 $\angle CMN, \angle CNM$ 그리고 그들을 만나게하십시오 $I$. 명백하게$I$ 세 번째 이등분선에있다 $CK$. 이후$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$공동 순환입니다. 또한 이전 단락의 결과와 결합하여$IK$그 원의 지름입니다. 따라서$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.

그 후 $MK$ 외부 각도를 양분 $\angle AMN$ 과 $NK$ 외부 각도를 양분 $\angle BNM$.

이제 오른쪽 그림을보세요. 접하는 원 그리기$AM,MN,NB$ 그리고 그 중심을 $O$. 우리는$MO$ 각도를 양분합니다 $AMN$ 과 $NO$ 각도를 양분합니다 $BNM$ 그래서 $O$ 과 $K$ 본질적으로 같은 지점입니다.

이제 주변을 쉽게 볼 수 있습니다. $\triangle CMN$ 다음과 같다 $CP+CQ$, 둘레의 절반입니다. $\triangle ABC$. (때문에$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ 그리고 그렇다 $BQ$)

Answer 2

나는 내가 문제를 해결했다고 생각한다!

포인트를 가져 가자 $P$ 옆에 $BC$ 어디 $\angle NKP=60°$. 그런 다음 포인트를$T$ PK 라인에서 $PK=KT$. 삼각형$BKP$ 과 $ATK$일치합니다. 그래서$\angle TAK=60°=\angle KBP$. 그것을주의해라$AMKT$circumcircle입니다. 그래서$\angle TAK=\angle TMK$. 그러므로$TMK$ 정삼각형입니다.

이제 우리는 삼각형이 $MKN$ 과 $NKP$일치합니다. 그래서$MN=NK$. 프톨레마이오스의 정리에 의해 우리는$AM+AT=AK$. 또한 잊지 마세요$BP=AT$.

$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.