$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, riemann 초기 데이터를 이용한 교통 흐름 방정식의 특성 방법
비 보존 방정식을 고려합니다. $$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$ 어디 $a$ 상수이고 $f(u)=u(1-u)$.
이 방정식을 초기 조건에서 특성의 방법으로 풀려고합니다. $$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$ 특성의 방법에 따라 $\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, 이것은 특성 방정식이 $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$ 와 함께 $\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
이 방정식을 풀고 나는 $u(x,t)=ax+ g(t)$ 어디 $g$ 의 일부 기능입니다 $t$혼자. 더 진행하는 방법을 모르겠습니다.
나는 우리가 방정식을 가지고있을 때 이것을 풀 수 있었다. $$u_t+(f(u))_x=0$$ 그곳에 $u$특성의 라인을 따라 일정했습니다. 도움을 주셔서 미리 감사드립니다.
답변
초기 데이터는 $u(x,0)$ 점프 불연속으로 구성 $u_l$ ...에 $u_r$따라서이 초기 값 문제는 리만 문제 입니다. 인기있는 Lighthill-Witham-Richards (LWR) 트래픽 흐름 모델은 다음과 같은 경우에 복구됩니다.$a=0$그리고 해당 Riemann 솔루션은 이 게시물에 설명되어 있습니다. 임의의 경우를 다루 자$a$예를 들어이 게시물에 대한 유사한 접근 방식을 따릅니다 . 환경$v = 1 - 2u$ PDE를 제공합니다 $$ v_t + vv_x = -2av $$ 특성 방법이 산출하는 $v = c_1e^{-2at}$, $\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$ 과 $$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$@Dmoreno의 답변에서 찾은 솔루션과 동일합니다. 그러나 불연속 초기 데이터의 경우 특성 방법이 충분하지 않습니다.$u$부드럽습니다). 따라서 우리는 약한 의미 에서이 문제를 해결하기 위해 적절한 방법을 사용 합니다. 관련 게시물을 참조하십시오 . 여기에서 우리는 충격파 솔루션을 찾습니다.$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$ 만약 $v_l > v_r$및 희소 파동 솔루션 $$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$ 만약 $v_l < v_r$. 동일한 솔루션이$u = \frac{1-v}2$ 변수를 변경하지 않고 초기 PDE 문제를 직접 해결하여 얻을 수 있습니다.
에서 $\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$ 당신은 얻을 $u - ax = c_1$, 및 $a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$ 너는 얻는다 $u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. 허락하다$c_2 = f(c_1)$ 암시 적 솔루션을 도출하기 위해 $u$, 방정식에 의해 결정
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
지금 당면한 과제는 $f$ 초기 조건에서 결국 해결 $u$. 여기서 가져올 수 있습니까?