Является ли доказательство существования предела эквивалентным доказательству того, что его значение реально (конечно)?

Aug 18 2020

Я изучаю анализ Дао I. Мой вопрос возникает из-за доказательства результатов с использованием предельного закона, это пример из предложения 7.2.14 (c):

в) Пусть $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ быть серией действительных чисел, и пусть $k\geq 0$быть целым числом. Если одна из двух серий$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ и $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ сходятся, то второй тоже, и мы имеем следующее тождество $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$

Моя попытка доказать: пусть $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ и $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$, то имеем $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ для всех $N\geq m+k$, (утверждение верно и при $N<m+k$ с участием $T_N=0$ и $S_N$ имеет лишние нулевые члены после индекса $N$ ), принимая предел как $N\to \infty$, у нас есть $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ поскольку конечная сумма не зависит от $N$.

Теперь предположим $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ сходится к $L$ , тогда $\lim_{N\to\infty}S_N$ существует и равно $L$, и разреши $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, поскольку конечные суммы сходятся, мой вопрос в том, можем ли мы использовать два предыдущих результата, чтобы заключить, что $\lim_{N\to\infty}T_N$ существует и равно $L-M$.

Или я должен доказать, что $S_N$ является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда $T_N$является? Опять же, я не ищу решения или проверки доказательства, мой вопрос, как сказано в заголовке: доказывает ли существование предела, эквивалентного показу того, что его значение является конечным или нет?

Если говорить более логично, то это $equivalence$ утверждение верно: предел существует $\longleftrightarrow$ предельное значение $\in \mathbb{R}$.

Если да, то почему мы не можем предположить, что ограничения существуют, а затем попытаемся вычислить его значение, и если оно реально, то сделаем вывод, что оно существует, например, при оценке $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ и равно $L$, тогда $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ , то имеем $(x-1)L=0$. поскольку$x=1$ для каждого настоящего $x$ абсурдно, заключаем, что $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ когда $x\neq 1$. Однако мы знаем, что приведенное выше рассуждение неверно, так как предел вообще не существует.

Ответы

user2661923 Aug 19 2020 at 07:00

Прежде всего, я проголосовал за; хорошая работа, красиво показано.

Я вижу некоторые области, в которых ваш анализ нуждается в улучшении:

(1)
Вы должны были выразить
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$

Это отличается от того, что вы написали.

(2)
Продолжая ваш подход (который мне нравится), с внесенной выше поправкой,
первый член на правой стороне:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
является суммированием фиксированного числа членов (и, следовательно, конечного), поскольку$m$ и $k$ являются (я предполагаю) фиксированными числами.

Поэтому, используя ваш подход, я бы написал, что
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$, с участием $S$ независимо от$N$,
а затем написано$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $

Тогда для простоты обозначений я бы написал:
Пусть$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$

(3)
Тогда задача сводилась бы к тому, чтобы показать, что$T$ конечно (а не бесконечно) тогда и только тогда, когда $(T + S)$ конечно.

В этом весь смысл проблемы, и именно здесь вы хотите, чтобы ваша интуиция расширилась. Вышеупомянутое тогда и только тогда утверждение должно быть прямым, чтобы продемонстрировать использование$\epsilon, \delta$ определение из вашего класса повторного бесконечного суммирования.