Что означает этот кограничный гомоморфизм для групповых гиперкогомологий?

Jan 11 2021

$\require{AMScd}$ Позволять $\Gamma=\{1,\gamma\}$ - группа порядка 2. В моей задаче из когомологий Галуа вещественных редуктивных групп я пришел к коммутативной диаграмме $\Gamma$-модули (абелевы группы с $\Gamma$-action) \ begin {уравнение *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {уравнение *}, в котором строки точны, но не столбцы (и$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Верхний и нижний ряды диаграммы разделены канонически:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ и эти расщепления совместимы: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ для $q_3\in Q_3$. Я рассматриваю группы гиперкогомологий Тейта$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ где оба коротких комплекса выражены в градусах $(-1,0)$.

Ниже я построю «вручную» канонический кограничный гомоморфизм $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

Вопрос. Как я могу получить этот кограничный гомоморфизм из некой общей теории?

Замечание. Для группы$\Gamma$порядка 2 (а также для любой циклической группы$\Gamma$) когомологии Тейта и гиперкогомологии периодичны с периодом 2. Поэтому наши $\delta$ это карта $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ где оба комплекса находятся в градусах $(-2,-1,0)$.

Строительство. Мы начинаем с$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Здесь$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, то есть \ begin {уравнение} q_3 \ in Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {Equation} Канонически поднимаем $ q_3$ к $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ и мы поднимаем $ x_3$для некоторых $ x_2\in X _2$. Мы пишем$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ где $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ а также $ p_1\in P_1$. Мы установили$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Поскольку по $(*)$ у нас есть $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ Мы видим, что $ x_1\in X _1$. Мы вычисляем:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ от $(**)$. Более того,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} от $(*)$ а также $(**)$. Таким образом$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Мы видим, что $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Мы установили$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Непосредственная проверка показывает, что карта $\delta$ является корректно определенным гомоморфизмом.

Ответы

3 მამუკაჯიბლაძე Jan 12 2021 at 00:27

Я считаю, что проще всего с этим справиться с помощью формализма триангулированных категорий. Сделать это можно разными способами: либо работать с неограниченной производной категорией, либо (возможно, проще) заменить каждый модуль$M$ с участием $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ где $\mathcal R$ это полное разрешение для $\Gamma$, т.е. стандартный неограниченный 2-периодический комплекс $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$из $\Gamma$-модули.

Пусть тогда $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ - точный треугольник в произвольной триангулированной категории, и пусть $Q_3\to X_2\to P_1$- произвольные морфизмы с нулевой составной частью. Позволять$P$ быть волокном $X_1\to P_1$ и разреши $Q$ быть кофеваркой $Q_3\to X_3$. Наша цель - построить из всего этого каноническую карту$Q\to\Sigma P$. Оказывается, существует такое отображение, которое к тому же является изоморфизмом тогда и только тогда, когда$Q_3\to X_2\to P_1$ точно.

Поскольку составной $Q_3\to X_2\to P_1$ равно нулю, карта $X_2\to P_1$ факторов через волокна $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$, и карта $Q_3\to X_2$ факторы через волокна $P_0\to X_2$ из $X_2\to P_1$. Таким образом, в целом$X_1\to P_1$ факторы в композит $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, пока $Q_3\to X_3$ факторы в композит $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.

Прежде всего отметим, что в этих условиях кофеварка $Q_3\to P_0$ изоморфен слою $Q_0\to P_1$; обозначая это$H$, составной $P_0\to H\to Q_0$ это составной $P_0\to X_2\to Q_0$.

Мы получаем восемь примеров аксиомы октаэдра, говорящих нам, что для различных композитов $f\circ g$ есть точные треугольники $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ а также $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. Строго говоря, не все из них нужны, но для полноты позвольте мне перечислить их все.

Составная пара дает точный треугольник
$Q_3\to P_0\to X_2$ $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$ $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$ $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$ $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$ $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$ $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

Чтобы собрать все это в единую диаграмму - далее линии с тремя объектами на них представляют собой точные треугольники; все ездит на работу.