Что подразумевается под «слабой» логикой?
Стэнфордская энциклопедия философии, sv "Modal Logic", утверждает:
Наиболее известные логики в модальном семействе построены из слабой логики под названием K (в честь Саула Крипке) ...
Ссылки на «слабость» и «слабость» относительно часто встречаются в вопросах, задаваемых на этом веб-сайте, например, « Слабая логика второго порядка» . Но ни ответы, данные под этим конкретным заголовком, ни объяснения слабости, подобные тому, что дано в разделе Что подразумевается под одной аксиомой, которая «слабее» другой? объясните мне, в чем может быть слабость «логики» или какой-то другой системы в целом.
Что подразумевается под «слабой логикой»?
Ответы
Логика тем сильнее, чем больше теорем она доказывает и, как следствие, тем меньше у нее моделей.
Чем больше аксиом и чем конкретнее аксиома (в том смысле, что A более конкретна, чем B, если A влечет B, но B не влечет A), тем больше формул будет выведено из этих аксиом: в том смысле, что ему удается доказать много предложений.
С другой стороны, чем больше теория требует, чтобы быть верной, тем сложнее становится структуре, удовлетворяющей всем аксиомам, поэтому тем меньше моделей будет: логика сильна в том смысле, что ей удается отбросить много структур и оставляет лишь несколько возможностей того, как могла бы выглядеть Вселенная.
Модальная логика K имеет только одно правило и одну аксиому, или в терминах отношения доступности вообще никаких ограничений. Таким образом, любая модальная структура может удовлетворять этой теории, и существует не так много теорем, которые можно вывести только из этой одной аксиомы и которые смогли бы быть универсально истинными во всех этих многочисленных структурах, в этом более общем контексте.
Добавляя больше аксиом или ограничений на отношение доступности, исключается больше структур. Таким образом, большее количество предложений может быть доказано и может оказаться истинным во всех этих меньших моделях в этой более конкретной теории. Таким образом, теории, такие как T, S4, S5, сильнее K.
Обратите внимание, что это определение не работает, если логика непоследовательна и включает в себя классический закон взрыва: тогда логика доказывает каждое утверждение, и у нее нет моделей, что по указанным выше критериям сделало бы ее неопределенно сильной; но это не то, чего мы хотели бы интуитивно, потому что такая логика тривиальна. (Хотя обратите внимание, что это классическое лечение не является необходимостью: существуют логики, которые не приводят к автоматическому взрыву противоречивых теорий; ср. Паранепротиворечивую логику).