Как получить правильный результат для этого интеграла?

Question

Wolfram | Alpha, насколько мне известно, единственный веб-сайт, который дает правильное решение этого интеграла ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ потому что, получая функцию, данную как результат, мы получаем исходную функцию.

Это решение: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

Однако в этом видео дается неверный результат, хотя процесс интеграции кажется правильным. Как указано выше, вы знаете, что результат неверен, поскольку получение результирующей функции не приводит к исходной функции, которую мы хотели интегрировать.

Мне нужно получить правильный результат, но я не знаю как.

Answer 1

Как указывает Ninad, это частичное решение, эквивалентное процессу, используемому в видео, которое действительно только в том случае, если $$\cos\frac t2$$ положительный .

Начните с этого удостоверения:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Чтобы применить это к подынтегральному выражению, сначала сделайте замену $t = \sqrt x$, затем последовательно применяйте это свойство. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$