Mathematica выводит тригонометрический интеграл ( $\sec^3$) в форме, которую я не могу доказать

Question

Неопределенный интеграл, конечно, $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica дает:

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

В $1/2 \sec(x) \tan(x)$ есть, но я потратил пару часов, пытаясь доказать, что логарифм Mathematica действительно $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, и я просто не могу этого сделать! В$x/2$полууглы бросают мне вызов. Мне они кажутся такими неправильными, это как формула полуугла в обратном направлении. Я получаю квадратный корень там, где хотел бы видеть квадраты.

Я уверен, что упускаю что-то очевидное, но просто не вижу этого!

Answer 1

Дифференцируйте, объедините логарифмы и работайте в обратном направлении, используя формулы половинного угла и тождество $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

Попасть туда можно самостоятельно, если сначала покажи:

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

Чтобы получить вышеуказанный результат, посмотрите, что происходит, когда вы помещаете все это в общий знаменатель:

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

Числитель, очевидно, равен 1 по тождеству $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ а знаменатель $\cos(x)$на половину угла. Чтобы в этом убедиться, разверните знаменатель$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ получить $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Тогда у нас есть$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$ а также $1/d$ является $\sec(x)$

... а что касается остальной производной:

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

Так что:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)