Найдите все 3 числовых решения для $x[(x-2)^2+1]=6$
Найдите все 3 числовых решения для $x[(x-2)^2+1]=6$
Я использовал метод проб и ошибок, чтобы найти целочисленные решения для $x$, и обнаружил, что одно из возможных решений $x=3$. Однако есть еще 2 нецелочисленных решения, и я не знаю, как их найти.
Я ценю любую помощь, спасибо.
Ответы
$$x(x^2-4x+5)=6$$
$$x^3-4x^2+5x-6=0$$
$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$
Вам просто нужно проверить дискриминант $x^2-x+2$ отрицательный и делаем вывод, что другого настоящего корня нет.
Если вы хотите найти другие корни, вы можете использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти оставшиеся корни.
Образованным методом проб и ошибок:
Если вы предполагаете, что у упражнения есть простое решение, скорее всего, будет целое число. $6$ факторы как $2\cdot3$ а так как второй множитель представляет собой полный квадрат плюс один, это исключает $3$. потом$x=3$ это бинго!
Теперь смещаем неизвестное с помощью $x:=z+3$, мы получаем
$$z^3+5z^2+8z=0$$ или же $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ разрешение которого несложно.
В поисках целочисленных решений уравнение $x[(x-2)^2+1]=6$ эквивалентно $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ Из второго уравнения в первой системе следует, что $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. К сожалению, только квадраты мос.$3$ находятся $0$ и $1$, поэтому у этой первой системы нет решения.
Второе уравнение второй системы означает $(x-2)^2=1$, т.е. $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. Только$x=3$ совместим с первым уравнением.
Следовательно, существует единственное целочисленное решение. Для других решений мы можем расширить левую часть, чтобы получить кубическое уравнение, делимое на$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$
Квадратное уравнение $x^2-x+2=0$ имеет комплексно-сопряженные корни: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$