Нетригонометрическое доказательство: $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.

Aug 18 2020

Этот вопрос уже задавался ранее, но ответ дает решение, включающее тригонометрию и теорему Стюарта, которого я хотел избежать.

В треугольнике $\triangle ABC$, биссектриса угла из точки $A$ пересекает $\overline {BC}$ в точке $D$. Докажите:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.


Мой подход:

Позволять $c$ быть описанной окружностью $\triangle ABC$ и разреши $E$ быть пересечением линии $AD$ и круг $c$.

Получаем следующее:

$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

С другой стороны:

$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

В заключение,

$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$

Картина:


Могу я спросить, действительно ли это? Если да, могу ли я что-нибудь сделать, чтобы улучшить свое доказательство?

Заранее спасибо!

Ответы

5 StinkingBishop Aug 18 2020 at 16:28

Обратите внимание на второй шаг ($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$- это хорошо известная теорема (Теорема о пересекающихся аккордах ), так что вы можете с таким же успехом обратиться к ней, а не доказывать ее самостоятельно. Помимо этого, это доказательство совершенно достоверно, и, поскольку оно очень короткое, я не вижу, как его можно улучшить.