Справочный запрос: многомерное обобщение основной теоремы исчисления

Jan 13 2021

$\newcommand\R{\mathbb R}$Позволять $f\colon\R^p\to\R$- непрерывная функция. Для$u=(u_1,\dots,u_p)$ а также $v=(v_1,\dots,v_p)$ в $\R^p$, позволять $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ Позволять $F\colon\R^p\to\R$ быть любым первообразным от $f$, в смысле $$D_1\cdots D_p F=f,$$ где $D_j$ - оператор частичного дифференцирования по $j$-й аргумент; предполагается, что результат этого повторного частичного дифференцирования не зависит от порядка аргументов, по которым берутся частные производные. Позволять$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Для каждого набора$J\subseteq[p]$, позволять $|J|$ обозначим мощность $J$.

Тогда нетрудно установить следующее многомерное обобщение основной теоремы исчисления ( лемма 5.1 ): \ begin {equal} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ substeq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {equal} где$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.

Кто-нибудь видел это или подобное утверждение в другом месте? (Я спрашиваю только о ссылках, а не о доказательствах.)

Ответы

6 AbdelmalekAbdesselam Jan 14 2021 at 01:35

Для такого элементарного факта, который, возможно, изобретался заново тысячу раз, трудно найти первую статью, в которой он появился бы. Однако позвольте мне указать на недостающий контекст. В конструктивной квантовой теории поля и статистической механике существует целая индустрия связанных с ними "умных" интерполяционных формул или формул Тейлора с целыми остатками. Они используются для выполнения так называемых кластерных расширений . Что касается идентичности ОП, нет потери общности в принятии$u=(0,0,\ldots,0)$ а также $v=(1,1,\ldots,1)$. В этом случае через обращение Мёбиуса в булевой решетке формула получается из следующего тождества.

Позволять $L$- конечное множество. Позволять$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ - достаточно гладкая функция, и пусть $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, тогда $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ где $\psi_A(\mathbf{h})$ это элемент $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ из $\mathbb{R}^L$ определяется из элемента $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ в $[0,1]^A$ по правилу: $x_{\ell}=0$ если $\ell\notin A$ а также $x_{\ell}=h_{\ell}$ если $\ell\in A$. Конечно, нужно 1) применить это ко всем$L$которые являются подмножествами $[p]$, 2) использовать обращение Мёбиуса в булевой решетке, и 3) специализироваться на $L=[p]$, и это дает личность ОП.

Приведенная выше формула является наиболее наивной в своем роде, используемой для расширения кластера «пара кубиков». См. Формулу III.1 в статье

А. Абдесселам и В. Ривассо, «Деревья, леса и джунгли: ботанический сад для расширения кластеров» .

Это также объясняется словами на странице 115 книги.

В. Ривассо, "От пертурбативной к конструктивной перенормировке" .

Эта формула является частным случаем гораздо более мощной формулы, а именно леммы 1 в

А. Абдесселам и В. Ривассо, "Явное многомасштабное расширение кластера большого и малого поля" ,

где суммируются "разрешенные" последовательности $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ произвольной длины элементов $L$, вместо подмножеств $L$. Понятие разрешенного основано на произвольном правиле остановки. Вышеуказанный идентификатор соответствует "разрешенному"$=$"без повторов", или правило остановки, которое не следует прибегать к $\ell$в конце эпизода, где он уже появился. Играя с таким выбором правила остановки, можно использовать лемму 1 моей статьи с Ривассо, чтобы доказать формулу Эрмита-Дженокки, анизотропную формулу Тейлора Хайрера в Приложении A к «Теории структур регулярности» и многое другое. . Когда$f$ - экспонента линейной формы, например, можно получить различные алгебраические тождества, как в сообщениях МО

тождество рациональной функции

Идентичность, включающая сумму по перестановкам

Я забыл упомянуть, что можно использовать лемму 1 для вывода формулы Тейлора из исчисления 1. Это соответствует $L$ имеющий один элемент и определяющий допустимые последовательности как длины не более $n$. Видеть

https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600

5 ZachTeitler Jan 13 2021 at 23:52

В $p=2$размерный случай - это упражнение в учебнике по математическому анализу Рогавски. Это упражнение 47 на странице 885, раздел 15.1 (Интеграция нескольких переменных) в издании Early Transcendentals 2008 года.