Учитывая уравнение кривизны, как найти подходящее семейство параметрических уравнений?

Question

Я видел здесь несколько вопросов и ответов для особых случаев поиска параметрических уравнений для заданной кривизны. Например; Найдите параметрическое уравнение для кривой с заданной кривизной . Однако, боюсь, я не понимаю общего процесса. Может ли кто-нибудь провести меня через этот процесс?

Меня интересуют параметрические уравнения вида

$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$

Следовательно, имея кривизну со знаком

$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$

У меня вопрос

Учитывая уравнение для $\kappa(s)$, как найти семейство решений для $\gamma(s)$?

Я предполагаю, что существует единственная кривая, удовлетворяющая $\kappa(s)$, хотя окончательное решение будет иметь три константы, $x_0$, $y_0$, и $\theta$, который будет кодировать произвольный перенос и поворот (или некоторые эквиваленты) такой кривой, поскольку, интуитивно, кривизна не заботится о перемещении или повороте всей кривой.

И последнее замечание: я просто чрезмерно оптимистичный студент, и поэтому я занимался только дифференциальными уравнениями первого порядка с академической точки зрения и имел только кривизну самоучки. Тем не менее, я концептуально понимаю каждую из них. Таким образом, я был бы признателен за ответ примерно на моем уровне понимания.

Answer 1

Есть не только произвольное вращение и перемещение, но также отражение и параметризация кривой. Итак, прежде всего, возьмем стандартную параметризацию длины дуги, в которой определение кривизны принимает вид$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ где $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ - касательный вектор и $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$является "нормальным" вектором. Последний определяется только с точностью до знака, поэтому выбирать один из них приходится произвольно. Это фиксирует вращение кривой, то есть отражение.

Следовательно, необходимо решить дифференциальное уравнение: $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ Как уравнение второго порядка, это должно давать четыре константы интегрирования, но существует ограничение длины дуги $(x')^2+(y')^2=1$, так что фактически остаются только три константы: две для перемещений и одна для вращения.

Answer 2

Как я уже сказал: «Я занимался только дифференциальными уравнениями первого порядка с академической точки зрения» , так что этот ответ на мой собственный вопрос может быть перегружен недостатками, но это (я считаю) общая форма, которую я искал. Большое спасибо Chrystomath за понимание.

Если $(x')^2+(y')^2=1$, тогда

$$\kappa=x'y''-y'x''$$

Также, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$

$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$

Позволять $u=x'$

$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

По аналогичной логике следует

$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

Следовательно, можно найти параметрическое уравнение (условно меняя местами $\sin$ и $\cos$) быть

$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$

И вот, как предсказал Кристомат: три константы (две для перемещения и одна для вращения) и отражения (обозначенные $\pm$)!