Встроенные ленты и регулярная изотопия
Я читаю статью Кауфмана 1990 года «Инвариант регулярной изотопии» о узлах, которые изотопны только благодаря движениям Рейдемейстера типа II и III, что известно как регулярная изотопия. В его статье утверждается, что существует связь между регулярной изотопией и вложенными полосами ($S^1 \times [0,1]$) в $S^3$. Он ссылается на учебник Берде «Узлы», но я не могу найти упоминания о регулярной изотопии, потому что кажется, что Кауфман придумал эту фразу в своей статье после того, как текст Берде был написан.
Я думаю, что регулярная изотопия узлов соответствует вложенной полосе. Однако я беспокоюсь, что может быть патология, которую я не замечаю. Есть ли у кого-нибудь точное изложение отношений?
Ответы
Из любой диаграммы узлов можно получить узел в рамке, взяв «обрамление на доске». Суть регулярной изотопии узловых диаграмм в том, что она сохраняет обрамление школьной доски. Поскольку оснащенные узлы и вложенные ленты - это одно и то же, регулярная изотопия также сохранит вложенную полосу, соответствующую обрамлению диаграммы узла на доске.
Я предполагаю, что это обсуждается более подробно в Burde, может быть, в терминах узлов в рамке. Также возможно, что Бурде вообще не обсуждает обрамленные узлы, поскольку я думаю, что люди стали намного больше интересоваться ими после открытия полинома Джонса / TQFT Черна-Саймонса. И я согласен: я думаю, что Кауфман ввел термин «регулярная изотопия», поэтому он, вероятно, не используется в Берде.
Это больше комментарий, чем ответ, но я надеюсь, что это полезно. Существует гораздо более старое и лучше изученное понятие регулярной гомотопии . Позволять$X$ и $Y$ - гладкие многообразия, и пусть $f,g\colon X \rightarrow Y$быть погружениями. потом$f$ и $g$ регулярно гомотопны, если гомотопны через погружения.
Сосредоточимся на регулярных гомотопических классах погружений. $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Такое погружение - это то, что вы получаете из узловой диаграммы, если забываете о пересечениях сверху / снизу. Нетрудно заметить, что если$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ являются регулярно гомотопическими погружениями с поперечными самопересечениями, то $f$ может быть преобразован в $g$последовательностью очевидных аналогов ходов Рейдемейстера II / III. Однако вы не можете выполнить аналог движения Райдемейстера I, поскольку в момент, когда вы натягиваете петлю, производная должна исчезнуть, так что это не обычная гомотопия.
Полагаю, это то, о чем думал Кауфман. Кстати, регулярные гомотопические классы погружений$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$можно полностью классифицировать. Взяв производную от такого погружения и изменив масштаб, чтобы производная имела единичную длину, вы получите связанную карту$S^1 \rightarrow S^1$. Степень этого отображения называется степенью погружения, а теорема Уитни-Граустейна утверждает, что эта степень является полным инвариантом. Эта теорема является ранним предшественником теоремы Хирша-Смейла о погружении, которая для частного случая погружений$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ включает в себя знаменитый «выворот сферы» Смейла, который выворачивает сферу наизнанку.
