จำกัด การประเมิน

Question

ใน N.Piskunov เขาอธิบายสมการเชิงอนุพันธ์โดยยกตัวอย่างแรงต้านอากาศที่กระทำต่อร่างกายที่ตกลงมา หลังจากประเมินสมการเชิงอนุพันธ์เขาได้สมการของความเร็วเป็น:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

จากนั้นเขาก็ระบุว่าถ้า $k = 0$ จากนั้นสมการจะเปลี่ยนเป็นสมการพื้นฐาน: $$v = v_o + gt.$$

ตอนนี้ฉันเข้าใจคำพูดนี้แล้วเพราะเมื่อความต้านทานอากาศเป็นศูนย์สมการความเร็วนี้จะมี อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถพิสูจน์ข้อความนี้ได้เมื่อฉันกำลังประเมินขีด จำกัด :$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

ขอความช่วยเหลือใด ๆ ในการประเมินขีด จำกัด !

Answer 1

คุณมี

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

ขีด จำกัด ของเทอมแรกคือ $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$เป็นเพียงแค่ $v_{o}$. สำหรับเทอมที่สองเนื่องจากขีด จำกัด จะกลายเป็น$\frac{0}{0}$โดยใช้กฎของL'Hôpitalให้

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

คุณยังสามารถใช้ความคิดเห็นของคำถามของdnfu ที่ระบุข้อเท็จจริงเพื่อให้ได้ค่าเดียวกัน ผลลัพธ์รวมจาก \ eqref {eq1A} จึงให้

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

อีกทางเลือกหนึ่งคือเรามีสิ่งนั้นตามขีด จำกัด มาตรฐาน $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ เช่น $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

และผลที่ตามมา

Answer 3

ด้วย

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

กลายเป็น

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$