Compact Integral operator?
ฉันสะดุดกับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่น่าสนใจ ฉันไม่แน่ใจว่ามันกะทัดรัดหรือไม่:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$
ฉันพยายามใช้อาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้: $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ ถูกผูกมัดและปล่อยให้ $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ ตามมาด้วยขีด จำกัด ที่อ่อนแอ $f \in L^2([0, 1])$. จากนั้น:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ ฉันยังสามารถพิสูจน์สิ่งนี้ได้ $\sup$ บรรลุในบางคน $x_{n_k} \in [0, 1]$ แต่สิ่งนี้ไม่ได้ช่วยฉันเพราะการพึ่งพา $n_k$. มิฉะนั้นฉันจะใช้การบรรจบกันที่อ่อนแอ ณ จุดนั้น
มีวิธีที่ง่ายกว่านี้หรือนี่คือตัวดำเนินการที่กะทัดรัด?
คำตอบ
เป็นตัวดำเนินการระดับ จำกัด และมีขนาดกะทัดรัด: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ ที่ไหน $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$ดังนั้นภาพของเซตที่มีขอบเขตจึงเป็นส่วนย่อยที่มีขอบเขตของสเปซย่อย 3 มิติของ $L^2([0, 1])$.
ถ้า $k(x,y)=a(x)b(y)$, ที่ไหน $a$ และ $b$ เปิดฟังก์ชันต่อเนื่อง $[0,1]$แล้ว $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ ดังนั้นตัวดำเนินการที่สำคัญ $T_k$กำหนดโดยเคอร์เนลอินทิกรัล $k$, พอใจ $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$และด้วยเหตุนี้ $T_k$ถูกมองว่าเป็นผู้ดำเนินการอันดับหนึ่ง หากเป็นเช่นนั้น$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ ที่ไหน $a_i$ และ $b_i$ เปิดฟังก์ชันต่อเนื่องอีกครั้ง $[0,1]$ตัวดำเนินการอินทิกรัลที่สอดคล้องกันตอบสนอง $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ ดังนั้นอันดับของ $T_k$ มากที่สุด $n$ดังนั้นจึงมีข้อ จำกัด
ต่อไปถ้าเราสมมติว่า $k$ คือขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่สม่ำเสมอ $k_n$ ของแบบฟอร์ม (1) ไม่ยากที่จะเห็นว่า $T_{k_n}\to T_k$ในบรรทัดฐานตัวดำเนินการดังนั้น $T_k$ เป็นตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัดเนื่องจากเป็นขีด จำกัด ของตัวดำเนินการที่มีอันดับ จำกัด
Stone-Weierstrass Theorem อาจถูกเรียกได้ง่ายเพื่อแสดงว่าส่วนย่อยของ $C([0,1]\times[0,1])$ เกิดขึ้นจากฟังก์ชันทั้งหมดของรูปแบบ (1) มีความหนาแน่นดังนั้นข้อสรุปของย่อหน้าด้านบนจึงมีความต่อเนื่อง $k$. สิ่งนี้พิสูจน์ได้:
ทฤษฎีบท ตัวดำเนินการใด ๆ บน$L^2[0,1]$ ด้วยเคอร์เนลอินทิกรัลแบบต่อเนื่องมีขนาดกะทัดรัด