Eigentensors สำหรับ Lichnerowicz Laplacian บน $\mathbb{CP}^n$

Question

พิจารณา Lichnerowicz Laplacian ที่เกิดขึ้นในการศึกษาความเสถียรของตัวชี้วัดของ Einstein:

$\Delta_L h_{ij} := \nabla^* \nabla h_{ij} + 2 R_{i p j q} h_{pq}$.

ฉันสนใจที่จะรู้ในวันที่ $\mathbb {CP}^n$อย่างชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ eigentensors ตัวแรกสำหรับตัวดำเนินการนี้บนพื้นที่ของสองเทนเซอร์สมมาตรที่ไม่มีร่องรอย ความเข้าใจของฉันคือคำตอบอยู่ในเอกสาร Koiso ปี 1980 เรื่อง `` ความแข็งแกร่งและความมั่นคงของตัวชี้วัดไอน์สไตน์ ... '' แม้ว่าฉันจะเป็นแบบฝึกหัดที่ค่อนข้างเป็นนามธรรมในทฤษฎีการเป็นตัวแทน เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบาย eigentensors เหล่านี้อย่างชัดเจนมากขึ้น? สำหรับคำถามเพิ่มเติม eigentensors ใด ๆ เหล่านี้มีกลุ่มความไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่สำคัญหรือไม่?

Answer 1

ค่าลักษณะเฉพาะและ eigentensors ที่สอดคล้องกันของ Lichnerowicz Laplacian บนพื้นที่ฉายภาพที่ซับซ้อนเป็นที่ทราบกันอย่างชัดเจน ดูที่นี่:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0393044010000926