Isomorphisms ระหว่างผลิตภัณฑ์กึ่งตรง

Question

ในการจำแนกกลุ่มคำสั่งซื้อ 20 โดยใช้ผลิตภัณฑ์กึ่งโดยตรงในที่สุดก็พบว่าตนเองกำลังมองหา homomorphisms ที่ไม่สำคัญ $\phi : V_4 \to Z_4$. ถ้า$V_4 = \langle a, b \rangle = \{1, a, b, ab \}$ และ $Z_4 = \langle x \rangle = \{1, x, x^2, x^3 \}$มีสาม homomorphisms ดังกล่าว; $\phi_1$ ที่กำหนดโดย $\phi_1(a) = x^2, \phi_1(b) = 1$, $\phi_2$ ที่กำหนดโดย $\phi_2(a) = 1$ และ $\phi_2(b) = x^2$และ $\phi_3$ ที่กำหนดโดย $\phi_3(a) = x^2$ และ $\phi_3(b) = x^2$. คอลเลกชันนี้ก่อให้เกิดผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรงสามชนิด$Z_5$ ด้วย $V_4$. ฉันรู้ว่าผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรงทั้งสามนี้ล้วนเป็นไอโซมอร์ฟิกซึ่งกันและกันโดยใช้ทฤษฎีบทที่บอกว่าถ้าใครสามารถหาออโตเมติกส์ได้$\tau : V_4 \to V_4$แล้ว $Z_5 \rtimes_\phi V_4 \cong Z_5 \rtimes_{\phi \circ \tau} V_4$อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทนี้ไม่ได้ระบุไว้ในหนังสือของฉันและไม่ใช่แบบฝึกหัดแม้แต่ข้อเดียวดังนั้นคำถามของฉันจึงมีดังนี้:

มีวิธีอื่นในการดู isomorphism ระหว่างกลุ่มเหล่านี้หรือไม่?

ขอบคุณ

Answer 1

homomorphism ใด ๆ จาก $V_4$ ถึง $Z_4$ มีเคอร์เนลซึ่งในผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็กต์ต้องเป็นองค์ประกอบกลาง $z$ ของการสั่งซื้อ $2$. จากการดูผลหาร$G/Z_5$ เราพบกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อสามกลุ่ม $10$แต่ละอย่างจำเป็นต้องเป็นปกติใน $G$ ของการสั่งซื้อ $20$และมันก็ตัดกัน $Z_5$. ดังนั้นหนึ่งในนั้นพูด$H$ไม่สามารถมี $z$. ดังนั้น$G\cong H\times \langle z\rangle$. กลุ่ม$H$ เป็นผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็กของ $Z_5$ โดย $Z_2$.