การหาอนุพันธ์ภายใน $\inf$

Question

สำหรับนูน $f$ฉันจะแสดงให้เห็นว่า

$$g(x) \equiv \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}$$

นูน ¹

คำตอบที่ได้รับจะเกิดขึ้นใหม่ $g$ เป็นการเปลี่ยนแปลงมุมมองของ $f$. แต่ฉันใช้แนวทางต่อไปนี้แทน:

$$\begin{align} g(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha} \\ g'(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \frac{\alpha f'(\alpha x)}{\alpha} \\& = \inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x) \\ g''(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \alpha f''(\alpha x) = 0 \end{align}$$

ตั้งแต่ $g'' \geq 0$ เพื่อทุกสิ่ง $x$, $g$ นูน

เหตุผลนี้ฟังดูดีไหม? ฉันได้รับอนุญาตให้ใช้อนุพันธ์ "inside" ของ$\inf$ แบบนี้?

โปรดทราบว่าแม้ว่าจะมีคำถามอื่น ๆ ในไซต์นี้ที่ขอให้แสดงความนูนของฟังก์ชันนี้ แต่คำถามของฉันก็มีความแตกต่างเนื่องจากเกี่ยวข้องกับความถูกต้องของการพิสูจน์ใหม่ที่ระบุไว้ข้างต้น

1. Stephen Boyd และ Lieven Vandenberghe, Convex Optimization,ออกกำลังกาย 3.31c

Answer 1

หลักฐานของคุณไม่ถูกต้องเพราะ $$g(x)= \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}\not\Rightarrow g'(x)= \inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x).$$ ใช้ $f(x)=x^2$ แล้ว $$g(x)=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{\alpha^2 x^2}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \alpha x^2=0\implies g'(x)=0.$$ ในทางกลับกัน, $$\inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x)=\inf_{\alpha \gt 0} 2(\alpha x)=\begin{cases} 0&\text{if $x \ geq 0$,}\\ -\infty&\text{if $x <0$.}\\ \end{cases}$$ อีกตัวอย่าง: ให้ $f(x)=(x+1)^2$. สำหรับ$x>0$, $$g(x)=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \left(\alpha x^2 +2x+\frac{1}{\alpha}\right)=4x\implies g'(x)=4.$$ ในทางกลับกัน, $$\inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x)=\inf_{\alpha \gt 0} 2(\alpha x+1)=2.$$