การแก้ค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ ODE
ฉันกำลังพยายามแก้ไขระบบ: $$ \bar{x}' =\left(\begin{array}{rr}-8 & 4 \\ 0 & -8\end{array}\right)\bar{x}+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right),\space \bar{x}(0)=\left(\begin{array}{rr}1 \\ 3 \end{array}\right) $$
จนถึงตอนนี้ฉันมั่นใจว่าด้วยรากที่ซ้ำซาก $-8$เรามีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป: $$ \bar{x}(t)=C_1\left(\begin{array}{rr}1\\ 0\end{array}\right)e^{-8t}+C_2\left(\begin{array}{rr}1\\ 0\end{array}\right)te^{-8t}+C_2\left(\begin{array}{rr}0\\ \frac{1}{4}\end{array}\right)e^{-8t}$$
จากนั้นฉันเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ:
$\bar{x}_p=\bar{a}e^{-8t}+\bar{b}te^{-8t}+\bar{c}t^2e^{-8t}$
$\bar{x}_p'=-8\bar{a}e^{-8t}+\bar{b}(e^{-8t}-8te^{-8t})+\bar{c}(2te^{-8t}-8t^2e^{-8t})$
จากนั้นเท่ากับ: $\bar{x}_p'=A\bar{x}_p+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right)$
$e^{-8t}$: $-8\bar{a}+\bar{b}=A\bar{a}+\left(\begin{array}{rr}3 \\ 1 \end{array}\right)$
$te^{-8t}$: $-8\bar{b}+2\bar{c}=A\bar{b}$
$t^2e^{-8t}$: $-8\bar{c}=A\bar{c}$
การแก้ $-8\bar{c}=A\bar{c}$:
$-8c_1+4c_2=8c_1$ดังนั้น $c_2=0$
$-8c_2=-8c_2$ดังนั้น $c_1=\alpha$
$\bar{c}=\left(\begin{array}{rr}\alpha \\ 0 \end{array}\right)$
การแก้ $-8\bar{b}+2\bar{c}=A\bar{b}$:
$-8b_1+4b_2=-8b_1+2\alpha$
$-8b_2=-8b_2+0$
$\bar{b}=\left(\begin{array}{rr}\beta \\ \frac{alpha}{2} \end{array}\right)$
แต่ฉันไม่ได้อยู่ใกล้ที่ไหน $\bar{a}$, $\bar{b}$ และ $\bar{c}$เพื่อจบการแก้ปัญหาของฉันเนื่องจากฉันมีตัวแปรอิสระมากเกินไป มีใครเห็นบ้างไหมว่าฉันทำอะไรผิดเพราะฉันสับสนเล็กน้อย หรือเสนอวิธี slicker ที่ดีกว่าเพราะของฉันดูค่อนข้างเงอะงะ ...
คำตอบ
เราได้รับ
$$x' = Ax + g = \left(\begin{array}{rr}-8 & 4 \\ 0 & -8\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right),\space x(0)=\left(\begin{array}{rr}1 \\ 3 \end{array}\right)$$
เราค้นหาค่าลักษณะเฉพาะ / ค่าลักษณะเฉพาะและมีวิธีแก้ปัญหาเสริม
$$ x_c(t)=e^{-8t}\left(c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \right)\right)$$
เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะและเงื่อนไขที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเราจึงเลือกใช้
$$x_p(t) = e^{-8t}(\vec a + \vec b t + \vec ct^2)$$
สิ่งนี้ให้
$$x_p'(t) = e^{-8t}((-8 \vec a + \vec b) + (-8\vec b + 2 \vec c) t + (-8\vec c)t^2)$$
เรามี
$$x_p'(t) = A x_p(t) + \vec g \implies \vec g = x_p'(t) - A x_p(t)$$
การเขียนสิ่งนี้ (เงื่อนไขเลขชี้กำลังหารออก)
$$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1-4a_2 \\ b_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 c_1 - 4 b_2 \\ -2c_2 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} -4c_2 \\ 0 \end{pmatrix}t^2$$
จากนี้เราจะได้รับ
$$a_1 = a_2 = c_2 = 0, b_1 = 3, b_2 = 1, c_1 = 2$$
ตอนนี้เราสามารถเขียน
$x(t) = x_c(t) + x_p(t) =e^{-8t}\left(c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \right)\right) + e^{-8t}\begin{pmatrix} 2t^2+ 3t \\ t \end{pmatrix}$
โดยใช้สิ่งนี้ $x(t)$ ด้วย IC เราจะได้รับ
$$x(t) = e^{-8t}\begin{pmatrix} 2t^2+15t+1 \\ t+3 \end{pmatrix}$$
หมายเหตุ:เราใช้ Undetermined Coefficients เพื่อแก้ระบบนี้และนั่นเป็นเพียงแนวทางเดียวเท่านั้นยังมีวิธีการอื่น ๆ อีกมากมาย