การแก้อสมการพื้นฐาน

Question

ฉันมีขั้นตอนต่อไปนี้ในการแก้ปัญหา

$1.$ $\frac{10}{1 - x} ≥ 15 + \frac{-12x}{1 - x}$

$2.$ $10 ≥ 15 - 15x+ (-12)x + 27x ≥ 5$

$3.$ $x ≥ \frac 5{27}$

ฉันสับสนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงระหว่างขั้นตอน $1$ และ $2$.

จะไม่คูณ $(1-x)$ ทั้งสองด้านของอสมการทำให้ฉันได้รับ

$10 ≥ 15(1 - x) + (-12x)$

$10 ≥ 15 - 27x$

ฉันทำอะไรผิดแทนที่จะได้รับผลลัพธ์ตามขั้นตอน $2$เหรอ?

Answer 1

ส่วนใหญ่อาจเป็นไปตามขั้นตอน $2$, มันคือ

$10+27x\geq15-15x+(-12)x+27x \implies27x\geq5$.

หากมีการกล่าวถึงขั้นตอนเหล่านี้ในหนังสือแสดงว่ามีข้อผิดพลาดในการพิมพ์มากกว่า มิฉะนั้นคุณทำสิ่งที่ถูกต้องทั้งหมด

นอกจากนี้ความไม่เท่าเทียมกันข้างต้นยังถือ if $x<1$.

Answer 2

เริ่มกันที่นี่:

$$\frac{10}{1 - x} ≥ 15 + \frac{-12x}{1 - x}$$

คุณพูดถูกเป็นส่วนใหญ่ คูณด้วย$1-x$ ผลลัพธ์ใน

$$10 \ge 15(1-x) -12x, \quad \text{ whenever } x<1,\quad(1)$$ และ

$$10 \le 15(1-x) -12x, \quad \text{ whenever } x>1.\quad(2)$$

การคูณอสมการด้วยจำนวนบวกจะรักษาความไม่เท่าเทียมกันการคูณด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ

ทั้งสองส่วนของ (2) ไม่สามารถเป็นจริงได้ดังนั้นเราจึงเหลือ:

$$10 \ge 15-27x \texttt{ AND } x<1$$

$$\frac{5}{27} \le x <1.$$

Answer 3

คุณควรหลีกเลี่ยงการคูณคำเช่น $1-x$เว้นแต่คุณจะแน่ใจเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของมัน ให้รวมเศษส่วนแทน:

$$ 0 \leqslant \frac{10}{1-x}-15 - \frac{-12x}{1-x} = \frac{10+12x}{1-x} + \frac{-15+15x}{1-x}=\frac{27x-5}{1-x} \\ \iff (27x-5)(x-1)\leqslant 0 \text{ and } x \neq 1. $$

ดังนั้น $$ \frac{5}{27} \leqslant x < 1. \blacksquare $$