การรับอนุกรมกำลัง
ฉันต้องการค้นหาฟังก์ชันที่แสดงโดย $\sum_{k=1}^{\infty} k^2z^k$.
นี่คือสิ่งที่ฉันได้ทำไปแล้ว:
เริ่มต้นด้วย $\sum_{k=1}^{\infty}z^k = \frac{z}{1-z}$เป็นคำจำกัดความของอนุกรมเรขาคณิต จากนั้นเราสามารถหาอนุพันธ์ของอนุกรมแล้วคูณด้วย z$\sum_{k=1}^{\infty}kz^k = \frac{z}{(1-z)^2}$. ทำซ้ำขั้นตอนนี้เราได้รับ$\sum_{k=1}^{\infty}k^2z^k = \frac{z}{(1-z)^2} + \frac{2z^2}{(1-z)^3}$.
ดัชนีต้องเปลี่ยนเมื่อเรารวมเข้าด้วยกันหรือนี่คือทางออกสุดท้ายและไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง?
คำตอบ
มีวิธีหลีกเลี่ยงคำถามเกี่ยวกับการจัดทำดัชนีซ้ำนี้
ฉันจะทำให้มันยากขึ้นอีกนิดด้วย $\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k$.
เขียน $$k^3=k(k-1)(k-2)+a k(k-1)+b k +c$$ กล่าวคือ $$c+k (-a+b+2)+(a-3) k^2=0$$ จากที่ $a=3$, $b=1$ และ $c=0$. ดังนั้น$$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^k+3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}kz^k$$ ซึ่งสามารถเขียน $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^{k-3}+3z^2\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^{k-2}+z\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$$ กล่าวคือ $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'''+3z^2\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)''+z\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'$$