ความหมายของ n-category
คำจำกัดความมาตรฐาน (ถ้ามี) ของไฟล์ $n$-category ณ ปี 2020? วรรณกรรมที่ฉันสามารถเข้าถึงได้มีค่อนข้าง จำกัด แต่ฉันจะพยายามอย่างเต็มที่เพื่อแสดงรายการสิ่งที่ฉันมีจนถึงตอนนี้
ใน [Lei2001] Leinster ได้แสดงให้เห็นถึงคำจำกัดความที่แตกต่างกัน 10 ประการสำหรับไฟล์ $n$- หมวดหมู่และไม่ได้แสดงความคิดเห็นว่าเทียบเท่าหรือไม่ ใน [BSP2011] ผู้เขียนได้ตั้งสัจพจน์และอ้างว่าคำจำกัดความทั้งหมด (มากมาย?) ของ$(\infty,n)$- หมวดหมู่จนถึงปัจจุบันตรงตามสัจพจน์ของพวกเขาดังนั้นจึงมีความเท่าเทียมกัน (ขึ้นอยู่กับการกระทำบางอย่าง) ฉันรวมคำจำกัดความเหล่านั้นไว้ที่นี่เพื่อความสมบูรณ์:
- (a) Segal Θn-space ที่สมบูรณ์ของ Charles Rezk
- (b) ช่องว่าง Segal สมบูรณ์แบบ n-fold
- (c) André Hirschowitz และหมวดหมู่ Segal n ของซิมป์สัน
- (d) n-relative ประเภทของ Clark Barwick และ Dan Kan
- (จ) หมวดหมู่ที่รวมอยู่ในหมวดหมู่แบบจำลองภายในใด ๆ ที่มีทฤษฎีโฮโมโตปีที่เป็นรากฐานของทฤษฎีโฮโมโตปีของ (∞, n) - หมวดหมู่,
- (f) เมื่อ n = 1, Boardman และ Vogt's quasicategories,
- (g) เมื่อ n = 1 เซตแบบง่ายที่ทำเครื่องหมายไว้ของ Lurie และ
- (h) เมื่อ n = 2 เซตแบบเรียบง่ายของ Lurie
อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าทุกกรณีใน [Lei2001] จะไม่ครอบคลุมและยังมีมากกว่านี้อีก อะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการกำหนดไฟล์$n$- หมวดหมู่และไฟล์ $(\infty,n)$-ประเภท?
คำถาม
ในระยะสั้นมีหลายคำจำกัดความสำหรับหมวดหมู่ที่สูงขึ้น .. เราควรใช้คำใด? มีรายการคำจำกัดความทั้งหมดที่สร้างขึ้นและการอภิปรายซึ่งเทียบเท่ากับข้อใดภายใต้ความหมายใด? นอกจากนี้ยังมีการอภิปรายเกี่ยวกับคำจำกัดความที่เป็นไปตามสมมติฐานสามข้อ
- สมมติฐานการรักษาเสถียรภาพ
- สมมติฐานที่ยุ่งเหยิง
- สมมติฐานของ Cobordism
ตั้งกระทู้ใน [BD1995]?
ข้อมูลอ้างอิง
- [Lei2001]: การสำรวจความหมายของ n-Category- [Tom Leinster] - [arXiv: math - 0107188]
- [BSP2011]: เกี่ยวกับ Unicity of the Homotopy Theory of Higher Categories - [Clark Barwick และ Christopher Schommer-Pries] - [arXiv: 1112.0040]
- [BD1995]: พีชคณิตมิติสูงและทฤษฎีสนามควอนตัมโทโพโลยี - [John C. Baez และ James Dolan] - [arXiv: q-alg - 9503002]
ที่เกี่ยวข้อง
- การแปลการพัฒนาบนรากฐานที่แตกต่างกัน
คำตอบ
ประการแรกมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างแนวคิดที่เข้มงวด $n$- หมวดหมู่อ่อนแอ $n$- หมวดหมู่และ $(\infty,n)$-ประเภท. แนวคิดที่ง่ายที่สุดคือการเข้มงวด$n$- หมวดหมู่และไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับคำจำกัดความที่นั่น : เข้มงวด$0$-category เป็นชุดและโดยการเหนี่ยวนำที่เข้มงวด $n$-category เป็นหมวดหมู่ที่อุดมไปด้วยหมวดหมู่ของ $(n-1)$- หมวดหมู่
เป็นเรื่องดีที่คุณอ้างถึงกระดาษของ Baez และ Dolan ซึ่งแนะนำแบบจำลองแรก ๆ สำหรับแนวคิดเรื่องคนอ่อนแอ $n$-ประเภท. ระหว่างปีพ. ศ. 2538 ถึง 2544 มีการแพร่หลายอย่างมากของรุ่นอื่น ๆ ในทางศีลธรรมพวกเขาควรเป็นหมวดหมู่ที่อุดมไปด้วยความอ่อนแอ$(n-1)$- หมวดหมู่ แต่มีหลายวิธีในการกำหนดการเพิ่มคุณค่าที่อ่อนแอเนื่องจากมีหลายวิธีในการติดตามเซลล์ที่สูงขึ้นและวิธีการรวมกัน ในปี 2004 มีการประชุมเพื่อพยายามให้ทุกคนมารวมตัวกันและค้นหาความคล้ายคลึงกันระหว่างโมเดลและแบบใดที่เทียบเท่ากับที่อื่น ๆ มันไม่ได้ส่งผลให้รูปแบบ "มาตรฐาน" โผล่ออกมาและฉันไม่คิดว่าคุณควรคาดหวังว่าจะเกิดขึ้นเร็ว ๆ นี้ อย่างไรก็ตามตอนนี้เรารู้แล้วว่าแบบจำลองสำหรับผู้อ่อนแอ$n$- หมวดหมู่กว้าง ๆ แบ่งออกเป็นสองค่าย Wikipedia กล่าวไว้อย่างสวยงาม :
โดยทั่วไปมีทฤษฎีสองประเภท: ทฤษฎีที่เซลล์ที่สูงกว่าและองค์ประกอบที่สูงกว่านั้นได้รับการยอมรับในเชิงพีชคณิต (ที่น่าทึ่งที่สุดคือทฤษฎีของไมเคิลบาตานินในประเภทที่สูงกว่าที่อ่อนแอ) และทฤษฎีที่ใช้แบบจำลองโทโพโลยีมากกว่า (เช่นหมวดหมู่ที่สูงขึ้นเป็นชุดที่เรียบง่ายที่น่าพอใจ คุณสมบัติที่เป็นสากลบางประการ)
Wikipedia ยังกล่าวอีกว่า "มีการให้คำจำกัดความหลายประการและบอกได้ว่าเมื่อใดที่เทียบเท่ากันและในแง่ใดได้กลายเป็นเป้าหมายใหม่ของการศึกษาในทฤษฎีหมวดหมู่" สิ่งนี้ตรงกับความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับสนามในขณะนี้ ฉันคิดว่าทฤษฎีหมวดหมู่ที่สูงขึ้นคือการสนใจคำถามเกี่ยวกับแบบจำลองจำนวนมากสำหรับผู้อ่อนแอ$n$- หมวดหมู่ ซึ่งแตกต่างจากการศึกษาของ$(\infty,n)$- หมวดหมู่ซึ่งตั้งอยู่ในทฤษฎี homotopy
ตอนนี้คนอื่นอาจเข้ามาพร้อมพูดว่า "$(\infty,n)$- หมวดหมู่เป็นสิ่งที่ถูกต้อง "เนื่องจาก MathOverflow มีการนำเสนอทฤษฎีโฮโมโตปปี้มากกว่านักทฤษฎีหมวดหมู่ที่สูงกว่าคุณอาจได้รับความรู้สึกเดียวกันจากการอ่าน nLab อีกครั้งโดยพิจารณาจากผู้ที่เขียนที่นั่น แต่ถ้าคุณไปเที่ยวที่ซิดนีย์ออสเตรเลีย ที่ทฤษฎีหมวดหมู่ที่สูงขึ้นมีชีวิตและดีคุณจะไม่ได้ยินคนพูด $(\infty,n)$- หมวดหมู่เป็นแบบจำลองที่ "ถูกต้อง" หรือทฤษฎีบทเอกภาพสำหรับ $(\infty,n)$- หมวดหมู่ช่วยแก้ปัญหาตั้งแต่ปี 2547 ในการหาว่าโมเดลใดอ่อนแอ $n$- หมวดหมู่เทียบเท่ากัน
นอกจากนี้ยังมีงานต่อเนื่องมากมายที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานการรักษาเสถียรภาพสมมติฐานที่ยุ่งเหยิงและสมมติฐานแบบ Cobordism ในรูปแบบต่างๆของความอ่อนแอ $n$- หมวดหมู่ ตัวอย่างเช่นเมื่อไม่นานมานี้ Batanin ได้พิสูจน์สมมติฐานการคงตัวสำหรับแบบจำลองของ Rezk ตาม$\Theta_n$- พื้นที่ จากนั้นฉันกับบาทานินก็ได้ให้ข้อพิสูจน์อีกข้อหนึ่งที่ถือเป็นคำจำกัดความของคนอ่อนแอทั้งชั้น$n$- หมวดหมู่รวมถึงโมเดลของ Rezk ย้อนกลับไปในปี 1998คาร์ลอสซิมป์สันได้พิสูจน์สมมติฐานการรักษาเสถียรภาพสำหรับนิยามของ n-category ที่อ่อนแอของ Tamsamani Gepner และ Haugsengได้พิสูจน์สมมติฐานการรักษาเสถียรภาพของ$(\infty,n)$- หมวดหมู่และประเภทของการเพิ่มคุณค่าที่อ่อนแอที่คุณจะได้รับจากวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของ Haugseng (เมื่อเสริมสร้าง $\infty$- หมวดหมู่) แน่นอนว่า Lurie ได้เขียนบทความหลายพันหน้าเพื่อพิสูจน์สมมติฐานของ Cobordism สำหรับ$(\infty,n)$-categories และAyala และ Francis ให้การพิสูจน์ที่สั้นกว่าโดยใช้การแยกตัวประกอบ homology
ฉันแน่ใจว่ามีวรรณกรรมมากมายที่ฉันพลาดไปและฉันแน่ใจว่าจะมีบางคนไม่เห็นด้วยกับฉันที่พูดว่า "ใช่มันยังมีค่าสำหรับการศึกษาโมเดลของคนอ่อนแอ $n$- หมวดหมู่แทนที่จะเรียนอย่างเดียว $(\infty,n)$-categories "แต่คุณขอข้อมูลอ้างอิงดังนั้นนี่คือสิ่งที่จะช่วยให้คุณเริ่มต้นได้