ความน่าจะเป็น / Combinatorics

Question

คำถามคือ:

โกศมี 6 สีดำและหมายเลขที่ไม่รู้จัก ($\le6$) ของลูกบอลสีขาว ลูกบอลสามลูกจะถูกดึงออกมาทีละลูกโดยไม่มีการเปลี่ยนและทั้งหมดจะพบว่าเป็นสีขาว ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกถัดไปจะเป็นสีดำคืออะไร?

ผมขอเสนอวิธีการแก้ปัญหาต่อไปนี้: เราคำนวณความน่าจะเป็นว่ามีRลูกบอลสีขาวในโกศโดยใช้ Bayes' ทฤษฎีบท ดังนั้นสิ่งนี้จะเป็น:$$ f(r) = \frac{\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}}}{\sum_{r=3}^6\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}} }$$โดยที่ f (r) หมายถึงความน่าจะเป็นที่พวกมันจะเป็นลูกบอลสีขาว ตอนนี้ถ้าเป็นของพวกเขาRลูกบอลสีขาวน่าจะเป็นที่วาดต่อไปจะเป็นสีดำ$g(r) = \frac{6}{6 + (r-3)} = \frac{6}{3+r}$เพราะมีการเลือกลูกบอลสีขาว 3 ลูกแล้ว ตอนนี้เพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่ลูกบอลลูกถัดไปที่จับเป็นสีดำสามารถกำหนดได้โดย:$$ \sum_{r=3}^6 f(r)\cdot g(r)$$

แนวทางนี้ถูกต้องหรือไม่? คำตอบที่ได้รับ (ฉันคำนวณโดยใช้สคริปต์ python) ตรงกับค่าทศนิยมกับหนึ่งในตัวเลือก ($\frac{677}{909})$ซึ่งเท่ากับ 0.744 หากถูกต้องฉันต้องการทราบว่ามีวิธีการตอบคำถามนี้ที่หรูหรากว่า / คำนวณน้อยกว่านี้หรือไม่ ขอบคุณ!

Answer 1

คำตอบของคุณของ ${\large{\frac{677}{909}}}$ ถูกต้องสมมติว่าเป็นการกระจายก่อนหน้านั้น $r$ มีแนวโน้มที่จะเท่ากัน $0,1,2,3,4,5,6$.

ดังนั้นถ้าเราสมมติก่อนวาดไฟล์ $3$ ลูกบอลสำหรับแต่ละคน $r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$ความน่าจะเป็นที่โกศมี $r$ ลูกบอลสีขาวคือ ${\large{\frac{1}{7}}}$แล้วสำหรับ $r\in\{3,4,5,6\}$, ฟังก์ชั่น $$ f(r)=\frac { {\displaystyle{\frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}}}} } { \;\; {\displaystyle{ \sum_{r=3}^6 \frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}} }} \;\; } $$คือความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่โกศมีอยู่ในตอนแรก$r$ ลูกบอลสีขาวเนื่องจากลูกแรก $3$ ลูกบอลที่วาดเป็นสีขาว

การวิเคราะห์ที่เหลือของคุณถูกต้อง