กลุ่ม จำกัด / ไม่มีที่สิ้นสุด

Question

ข้อความใดต่อไปนี้เป็น / จริง

ก) มีกลุ่ม จำกัด จำนวนมากซึ่งทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ตัวตนมีลำดับ $2$.

b) มีกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ตัวตนมีลำดับ $2$.

c) มีกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งมีองค์ประกอบของการสั่งซื้อ $n$ เพื่อทุกสิ่ง $n\in \Bbb N$.

d) มีกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนมากซึ่งแต่ละองค์ประกอบที่ไม่ใช่ตัวตนมีลำดับที่ จำกัด

ความพยายามของฉัน: ตัวเลือกที่ 2 ดูเหมือนจะถูกต้องเนื่องจากฉันมีตัวอย่างของกลุ่มดังกล่าว (ชุดกำลังของจำนวนธรรมชาติภายใต้การดำเนินการไบนารีของความแตกต่างแบบสมมาตรเป็นตัวอย่างหนึ่ง) แต่ฉันไม่สามารถสรุปอะไรเกี่ยวกับตัวเลือกอื่น

เกี่ยวกับตัวเลือกที่ 1 ดูเหมือนว่าจะเป็นเรื่องจริงในใจ $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$แต่ฉันก็ยังสับสน สำหรับสองตัวเลือกสุดท้ายฉันไม่มีความคิดที่ชัดเจนว่าสามารถสมัครได้ที่นี่ กรุณาชี้แนะ

Answer 1

(ก) สำหรับ $n\geq 1$, $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ เป็นกลุ่มที่ จำกัด ซึ่งองค์ประกอบที่ไม่สำคัญทุกอย่างมีลำดับ $2$. ดังนั้นจึงมีกลุ่มดังกล่าวมากมาย

(ข) $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ เป็นกลุ่มที่ต้องการ

(c) คุณอาจพิจารณาตัวอย่าง $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$. จากนั้นสำหรับทุกๆ$n\in \Bbb{N}$, $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ เป็นองค์ประกอบของการสั่งซื้อ $n$ ใน $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$.

(ง) สำหรับ $n\geq 2$, $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$เป็นกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งทุกองค์ประกอบที่ไม่สำคัญมีลำดับ จำกัด ดังนั้นจึงมีกลุ่มดังกล่าวมากมาย

Answer 2

หากคุณกำหนดคอนเซ็ปต์ได้ง่ายขึ้นคุณสามารถใช้แต่ละองค์ประกอบให้มีขอบเขต จำกัด แม้ว่ากลุ่มโดยรวมจะไม่มีที่สิ้นสุดก็ตาม

ตัวอย่างเช่นสำหรับ (2) เราสามารถนำแต่ละองค์ประกอบของ $G$ เป็นลำดับ จำกัด ประกอบด้วย $1$ และ $-1$ และลงท้ายด้วย $-1$(เอกลักษณ์คือลำดับโมฆะ) การค้นหา$ab$เราคูณค่าของ $a$ และ $b$ จับคู่แล้วยุติลำดับในตอนท้าย $-1$. หากมีความยาวต่างกันเราจะต่อท้าย$1$ สั้นลงหนึ่งเท่าพอที่จะทำให้ยาวเท่ากันแล้วคูณ $G$ ไม่มีที่สิ้นสุดเพราะแม้ว่าแต่ละองค์ประกอบจะมีความยาว จำกัด แต่ก็มีความยาว จำกัด จำนวนไม่ จำกัด

กลยุทธ์ที่คล้ายกันใช้ได้กับ (3) และ (4) สำหรับ (3) เราใช้ลำดับที่ จำกัด ซึ่ง$n$ค่า th เป็นองค์ประกอบของ $\mathbb Z_n$เว้นแต่ลำดับจะมีความยาว 1 ค่าสุดท้ายจะไม่ใช่ $1$. สำหรับ (4) เราจะใช้รูปแบบต่างๆใน (3) ตัวอย่างเช่นเราสามารถเริ่มต้นลำดับที่$\mathbb Z_k$. หรือใช้เวลา$k$ สำเนาของ (3) ฯลฯ