Laplace transform สำหรับการแจกแจง

Question

การแปลงฟูริเยร์สำหรับการแจกแจงแบบอารมณ์เป็นที่รู้จักกันดี มันถูกกำหนดโดย$$\langle \mathcal{F}T , \phi\rangle = \langle T,\mathcal{F}\phi\rangle$$สำหรับฟังก์ชัน Schwartz ใด ๆ $\phi$. สำหรับฟังก์ชันทั่วไปจะถูกกำหนดโดย$$\mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt$$ในทางกลับกันการแปลง Laplace ข้างเดียวสำหรับฟังก์ชันปกติคือ $$\mathcal{L}f(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty}e^{-st}f(t)dt$$ที่ไหน $s \in \mathbb{C}$. เป็นไปได้ไหมที่จะแปลง Laplace ของการแจกแจง มีกำหนดไว้อย่างไร? เป็นที่ทราบกันดีว่า$\mathcal{L}\delta(t) = 1$ แต่ฉันไม่รู้ว่ามันเข้มงวดตั้งแต่นั้นมาหรือเปล่า $\delta(t)$ ไม่ใช่ฟังก์ชั่นธรรมดา

Answer 1

ถ้า $T$ เป็นการกระจายที่มีการรองรับขนาดกะทัดรัดแล้ว $\langle T(t), e^{-st} \rangle$มีการกำหนดไว้อย่างดี หนึ่งสามารถใช้$\rho \in C_c^\infty$ ดังนั้น $\rho \equiv 1$ ในพื้นที่ใกล้เคียงของการสนับสนุนของ $T$ และกำหนด $\langle T(t), e^{-st} \rangle = \langle T(t), \rho(t) e^{-st} \rangle$. ผลลัพธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ$\rho$.