ไม่ จำกัด ชุดธรรมดา

Question

ฉันกำลังดิ้นรนในการพิสูจน์ชุดที่เรียบง่ายเช่น $S=\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\;;\;n\in\mathbb{N}\right\}$ สิ่งที่ฉันจะทำก่อนอื่นคือสังเกตว่า $n\geq 1$ จะบอกเป็นนัยว่า $2^{n}\geq 2\implies \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\geq \frac{2}{3^{n}}$ และเราจะเห็นสิ่งนั้น $0$ เป็นค่าที่ไม่ จำกัด แต่ฉันไม่รู้วิธีใช้คุณสมบัติ Archimedean ที่นี่อย่างถูกต้องเพื่อแสดง $0$ คือขอบเขตล่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ $S$.

Answer 1

ชุด $S$ ประกอบด้วยจำนวนบวกเท่านั้นดังนั้นจึงไม่มีจำนวนบวกที่เป็น $\inf$ (กล่าวคือในเชิงบวกใด ๆ $\varepsilon$ ตัวเลขมีองค์ประกอบของ $S$ ที่มีขนาดเล็กกว่า $\varepsilon$). เพื่อแสดงให้เห็นว่าเราต้องหาสิ่งใดสิ่งหนึ่ง$\varepsilon$ นั่นคือ $n$ มีอยู่เช่นนั้น $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \le \varepsilon \\ \overset{\ln(\cdot)}{\implies}\quad n\ln\left(\frac{2}{3}\right) \le \ln(\varepsilon) \quad\overset{(\cdot)/\ln\left(\frac{2}{3}\right)}{\implies}\quad n \ge \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)} $$ เครื่องหมายอสมการสุดท้ายถูกย้อนกลับเนื่องจากการหารด้วย $\ln(2/3)$ซึ่งเป็นลบ

นั่นหมายความว่า $\inf$ไม่เป็นบวก (ลบหรือศูนย์) inf ไม่สามารถเป็นลบได้เพราะสำหรับค่าลบใด ๆ จะมีค่าลบมากกว่าเป็นขอบเขตล่าง มันจึงยังคงเป็นศูนย์