ในทฤษฎีบทของ Tychonoff

Question

ปล่อย $x_n:[0,1]\rightarrow E$ ลำดับของการใช้งานโดยที่ $E$เป็นช่องว่างที่เป็นบรรทัดฐาน สมมติว่าสำหรับทุกๆ$t\in [0,1]$ $$\left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \} \text{ is weakly compact.}$$

การอ้างสิทธิ์:ตามทฤษฎีบทของ Tychonoffเราสามารถเข้าใจได้ว่า:

$$\left \{ x_n(.):\; n\in \mathbb N\right \}=\prod_{t\in [0,1]} \left \{ x_n(t):\; n\in \mathbb N\right \}$$ มีขนาดกะทัดรัดเล็กน้อย $\mathcal{A}([0,1],E)$, ที่ไหน $\mathcal{A}([0,1],E)$ เป็นพื้นที่ของแอปพลิเคชันจาก $[0,1]$ ถึง $E$.

ปัญหา : ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันเป็นส่วนย่อยของ$\mathcal{A}([0,1],E)$ในขณะที่ด้านขวาเป็นส่วนย่อยของ $\{x_n([0,1]): n\in \mathbb N\}$!

ฉันรู้ว่าแอปพลิเคชั่นต่อไปนี้มีความหมาย $$\begin{matrix} \Phi: \mathcal{A}([0,1],E)& \rightarrow & E^{[0,1]}\\ x &\mapsto & \big(x(t)\big)_{t\in [0,1]} \end{matrix}$$

แต่ฉันไม่รู้ว่าจะใช้มันอย่างไรถ้า homeomorphism ปัญหาของฉันจะชัดเจน

Answer 1

ทางขวามือ (ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ก็อยู่ใน$\mathcal{A}([0,1],E)$.

ของคุณ $\Phi$คือตัวตน ไม่มีอะไรต้องพิสูจน์

IMO มันคือสัญกรณ์ $\{x_n(\cdot): n \in \Bbb N\}$ มันแปลกมาก