พิสูจน์ชุดนั้นปิดแล้ว

Question

ฉันต้องการตรวจสอบว่าตั้งค่าหรือไม่ $A=\left\{(x,y)|xy\ge0\right\}$เปิดหรือปิด ฉันพิสูจน์แล้วว่ามันไม่เปิด เมื่อต้องการตรวจสอบว่าปิดหรือไม่ก็ลงมาเพื่อพิสูจน์ว่า$A^C=\left\{(x,y)|x<0\lor y<0\right\}\cap\left\{(x,y)|x>0 \lor y>0\right\}$ เปิดอยู่ที่ไหน $A^C$ เป็นส่วนเสริมของ $A$. ดังนั้นถ้าฉันใช้จุด$(-1,0)$ มันง่ายที่จะพิสูจน์ $A^C$ไม่ได้เปิดจึงไม่ได้ปิดเช่นกัน ถูกต้องหรือไม่ ชุดเริ่มต้น$A$ ฉันเขียนเช่น $A=\left\{(x,y)|x\ge0\land y\ge0\right\}\cup\left\{(x,y)|x\le0\land y\le0\right\}$และนั่นคือสิ่งที่ฉันได้รับ $A^C$.

Answer 1

หากคุณกำลังพิจารณาประเด็นต่างๆ $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ แล้ว $A^C=\left\{(x,y)|x<0\land y>0\right\}\cup\left\{(x,y)|x>0 \land y<0\right\}$.

สำหรับใด ๆ $(x,y)\in\ A^C$ ปล่อย $d_1=\text{distance of $(x, y)$ to the axis $วัว$}$ และ $d_2=\text{distance of $(x, y)$ to the axis $เอ๋ย$}$.

แล้วสำหรับ $d=\frac{\text{min}\{d_1,d_2\}}{2}$ ดิสก์ของศูนย์ $(x,y)$ และรัศมี $d$ มีอยู่ใน $A^C$.