Rank Nullity Theorem ไม่ทำงาน?

Question

ในชั้นเรียนเราได้รับคำถาม:

ปล่อย $X$ เป็นพื้นที่เวกเตอร์มิติ จำกัด (มีมิติ $n$) และ $f\in X^*.$ มิติของสเปซว่างของ $f$ เป็น?.

ในหน่วยนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะการแมปพื้นที่คู่ $\mathbb{R}$ หรือ $\mathbb{C}$. ดังนั้นฉันจึงใช้ทฤษฎี Rank-Nullity

$$\mathcal{N}(f)=n-1\text{ unless }f\equiv0\text{ in which case }\mathcal{N}(f)=n.$$

อย่างไรก็ตามวิทยากรของฉันได้สร้างสิ่งต่อไปนี้

ปล่อย $\{e_1,e_2,...,e_n\}$ เป็นพื้นฐานสำหรับ $X$.

สำหรับใด ๆ $x\in X$ เราเขียนได้ $$x=\sum_{i=1}^n \xi_i e_i.$$ ตอนนี้สำหรับใด ๆ $k=1,2,...,n$ ปล่อย $$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k,0,0,...,0).$$ เราสามารถกำหนด $f_\alpha\in X^*$ เช่นนั้น \begin{align*} f_\alpha (x):=\sum_{i=1}^n\xi_i\alpha_i=\sum_{i=1}^k \xi_i\alpha_i+\sum_{i=k+1}^n \xi_i 0=\sum_{i=1}^k \xi_i\alpha_i. \end{align*} ดังนั้น, $\operatorname{span}\{e_{k+1},e_{k+2},...,e_n\}=\mathcal{N}(f_\alpha)$.

ดังนั้น, $$\dim(\mathcal{N}(f_\alpha))=n-k.$$

ในขณะที่ฉันเข้าใจข้อโต้แย้งนี้ แต่ฉันไม่ค่อยแน่ใจว่าทำไมมันถึงกำลังสองกับทฤษฎีบทอันดับความว่างเปล่า

แก้ไข: ขอบคุณมากสำหรับคำตอบ นอกจากนี้ต้องเพิ่มวิทยากรของฉันก็ยอดเยี่ยม

Answer 1

ที่จริงคุณมี $\mathrm{span}\{e_{k+1},\cdots,e_n\}\color{Red}{\subset} N(f_{\alpha})$. มันไม่ใช่ความเท่าเทียม

ลองนึกภาพเช่น $k=n$. แล้ว$f_{\alpha}(X)=\alpha\cdot x$ มีเคอร์เนลคือส่วนเติมเต็มมุมฉากของ $\alpha$.

อันที่จริงถ้าคุณเลือกพิกัดที่ไม่ใช่ศูนย์ $\alpha_i$ ของ $\alpha$จากนั้นสร้างโดยพลการ $x\in N(f_{\alpha})$ คุณสามารถให้พิกัด $x_j$ เป็นอะไรก็ได้ $j\ne i$ แล้วแก้สำหรับ $x_i$ตามความเหมาะสม. นั่นแหละ$n-1$ องศาอิสระสำหรับสเปซว่าง