รูปแบบการเชื่อมต่อ
ฉันพบย่อหน้าต่อไปนี้ในหนังสือ Manifolds และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โดย Jeffrey M. Lee (ส่วนที่ 12.2 แบบฟอร์มการเชื่อมต่อหน้า 506):
ปล่อย $\pi : E \longrightarrow M $ เป็นกลุ่มเวกเตอร์อันดับ r ที่มีการเชื่อมต่อ $\nabla$. จำไว้ว่าตัวเลือกของฟิลด์เฟรมภายในบนชุดเปิด$U \subset M $ เทียบเท่ากับข้อ จำกัด เล็กน้อย $\pi_U : {E|}_U \longrightarrow U . $ กล่าวคือถ้า $ \phi = (\pi, \Phi)$ เป็นเรื่องเล็กน้อยมากกว่า U แล้วกำหนด $e_i(x)= \phi ^{-1}(x,e_i)$, ที่ไหน $(e_i)$ เป็นพื้นฐานมาตรฐานของ $\mathbb{F}^n$เรามีกรอบเขตข้อมูล $(e_1,...,e_k).$ตอนนี้เราตรวจสอบนิพจน์สำหรับอนุพันธ์โควาเรียนที่กำหนดจากมุมมองของฟิลด์ท้องถิ่นดังกล่าว ไม่ยากที่จะเห็นว่าสำหรับทุกฟิลด์เฟรมนั้นจะต้องมีเมทริกซ์ 1 รูปแบบ$\omega = {(\omega_j^i)}_{1≤i,j≤r}$ เช่นนั้นสำหรับ $X \in \Gamma(U,E)$ เราอาจเขียน $$\nabla_Xe_j =\sum\limits_{i=1}^k {\omega_j^i}(X)e_i$$
คำถามของฉันคือจะพิสูจน์การมีอยู่ของเมทริกซ์ 1 รูปแบบดังกล่าวได้อย่างไร
คำตอบ
เรารู้ว่า $\nabla_Xe_i$ เป็นส่วนที่เรียบของ $E$และทำงานแบบโลคัลบนเฟรม $(U,e_1,\ldots, e_k)$ อย่างที่คุณเป็นเรามี $$ \nabla_Xe_i=\sum_{j=1}^n \omega^j_i(X)e_j$$ ที่ไหน $\omega^j_i:\mathfrak{X}(U)\to C^\infty(U).$ ใช้งานง่าย $\nabla_{aX+bY}=a\nabla_X+b\nabla_Y$ ที่ $\omega^j_i$ เป็นเส้นตรง แต่มีมากกว่านั้น $\omega^j_i$ เป็นแรงดึงเนื่องจาก $\nabla_{fX}=f\nabla_X$ ดังนั้น $\omega^j_i(fX)=f\omega^j_i(X)$. ดังนั้น$\omega^j_i$ เป็นไปอย่างราบรื่น $(0,1)-$สนามเทนเซอร์มากกว่า $U$. นั่นคือ$(\omega_j^i)$ แบบก $k\times k$ อาร์เรย์ของเรียบ $1-$แบบฟอร์มมากกว่า $U$.
แก้ไข:นี่คือการตอบคำถามที่เกิดขึ้นในความคิดเห็น
คุณต้องการแสดงเมทริกซ์ $(\omega_j^i)_{i,j}$กำหนดไว้ในเครื่องเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่ม endomorphisms เป็นไปได้ที่จะกำหนดรูปแบบความแตกต่างที่มีมูลค่าเวกเตอร์บันเดิล จริงๆแล้วนี่ไม่ยากเลย ในเรื่องเล็กน้อยในท้องถิ่นของ$E$ ให้โดย $(U,e_1,\ldots, e_r)$ ก $E-$ความแตกต่างที่มีมูลค่า $k-$form คือนิพจน์ของฟอร์ม $\eta=\eta^1\otimes e_1+\cdots +\eta^r\otimes e_r$ แต่ละ $\eta^i$ ก $k-$แบบฟอร์ม. นั่นคือเรามีไฟล์$k-$แบบฟอร์มด้านหน้าของแต่ละองค์ประกอบเฟรมตามที่กำหนด $X_1,\ldots, X_k$ เขตข้อมูลเวกเตอร์ในย่านเดียวกันที่เปิดอยู่ $$ \eta(X_1,\ldots, X_k)=\sum_{i=1}^r \eta^i(X_1,\ldots,X_k)e_i$$ กำหนดส่วนของ $E$ เกิน $U$. ทั้งหมดนี้ถูกกล่าวว่าถ้า$E$ เป็นเรื่องเล็กน้อยในท้องถิ่นด้วย $e_1,\ldots, e_r$ เฟรมท้องถิ่นแล้ว $\operatorname{End}(E)$ ยังเป็นเรื่องเล็กน้อยด้วยกรอบที่กำหนดโดยเมทริกซ์มาตรฐาน $E_{i,j}$ (ศูนย์ทั้งหมดยกเว้น a $1$ ใน $(i,j)$ตำแหน่ง). นั่นคือ,$E_{i,j}$ แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงที่ส่ง $e_j\mapsto e_i$ และอื่น ๆ ทั้งหมด $e_k\mapsto0$. จากนั้นก$\operatorname{End}(E)-$มูลค่า $k-$แบบฟอร์มคือผลรวมของแบบฟอร์ม $$ \sum_{i,j}\underbrace{\eta^{i,j}}_{\in \Omega^k(U)}E_{i,j}= \begin{bmatrix} \eta^{1,1}&\cdots& \eta^{1,r}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \eta^{r,1}&\cdots& \eta^{r,r} \end{bmatrix}.$$ ในกรณีที่ $k=1$ซึ่งเรียกว่าไฟล์ $\operatorname{End}(E)-$มูลค่า $1-$แบบฟอร์ม. โปรดทราบว่านี่เป็นกรณีพิเศษของโครงสร้างทั่วไปสำหรับการรวมเวกเตอร์เนื่องจาก$\operatorname{End}(E)$เป็นชุดเวกเตอร์ นี่คือสิ่งที่ผู้เขียนอ้างถึง$\mathcal{A}^1(-,\operatorname{End}(E))$.