สาม desperados

Question

สาม Desperados A, B และ C เล่นรูเล็ตรัสเซียที่พวกเขาผลัดกันดึงไกปืนพกหกกระบอกที่บรรจุกระสุนหนึ่งนัด ทุกครั้งที่หมุนนิตยสารเพื่อสุ่มเลือกกระบอกใหม่ที่จะยิงตราบเท่าที่กระสุนไม่ตก Desperados ยิงตามคำสั่ง A, B, C, A, B, C,. . .. จงพิจารณาความน่าจะเป็นที่คนสิ้นหวังคนนี้จะเป็นคนยิงตัวเองตาย

ฉันต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่ A ตายที่ $i$การทดลองดังนั้น B และ C จึงไม่มีวันตาย ถ้าอยู่ที่$1$การทดลองไม่มีใครตายเรามี $(\frac{5}{6})^3$. ถ้าอยู่ที่$i$การทดลองไม่มีใครตายที่เราควรจะมี $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, เพราะ

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

และตั้งแต่นั้นมา $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

ที่ไหน $A=[$ไม่ตาย$]$. ดังนั้น A ควรจะตายที่$i+1$การทดลองด้วยความน่าจะเป็น $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

น่าเสียดายที่ผลลัพธ์คือ $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. ทำไม?

Answer 1

สัญกรณ์ของคุณทำให้ปัญหาซับซ้อนเกินไป ความน่าจะเป็นที่ปืนยิงครั้งแรกที่$i$- การดึงทริกเกอร์คือ $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... นั่นคือความน่าจะเป็นที่หนึ่ง $i-1$ ทริกเกอร์ดึงไม่ยิงจากนั้น $i$- อย่างใดอย่างหนึ่ง $A$ ตายถ้าสิ่งนี้เกิดขึ้นในครั้งแรกที่สี่ที่เจ็ด ฯลฯ .... การดึงทริกเกอร์: ถ้า $i=3k+1$ สำหรับธรรมชาติ $k$. ดังนั้น$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ เพื่อความสมบูรณ์ตั้งแต่ $B$ และ $C$ จำเป็นต้อง $i=3k+2$ และ $i=3k+3$ ตามลำดับ $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ และ $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยไม่ต้องสรุปชุดแฟนซี คุณก็รู้นี่:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

หนึ่งครั้งจากหกครั้ง $A$จะสูญเสียทันที ในอีกด้านหนึ่ง$\frac{5}{6}$ ของกรณี $A$ จะอยู่ในสถานการณ์เดียวกัน $C$ อยู่ที่จุดเริ่มต้นของเกม

ถัดไปคุณมี:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

ถ้า A ไม่แพ้ในช่วงแรก $B$ จะแพ้ด้วยความน่าจะเป็น $P(A)$.

แน่นอนคุณยังมี:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

เนื่องจากใครบางคนต้องสูญเสีย คุณมี 3 สมการและ 3 สมการที่ไม่รู้จัก