Sheafification ของ presheaf คงที่

Question

ฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับ Sheafification แต่มันเป็นนามธรรมเกินไปสำหรับฉัน ฉันพยายามหาตัวอย่างของการทำให้เป็นเกลียวของ presheaf คงที่และที่ปรึกษาของฉันให้ตัวอย่างนี้$X$ เป็นพื้นที่ทอพอโลยีและ $A$เป็นกลุ่ม Abelian ปล่อย$\mathfrak{A}^+$ เป็น presheaf ของฟังก์ชันต่อเนื่องเช่น $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ ที่ไหน $A$ มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับชุดเปิดแต่ละชุด $U$. มี 3 สิ่งที่เขาต้องการให้ฉันแสดง:

(1) $\mathfrak{A}^+$ เป็นฟ่อนของกลุ่มอาเบเลียน

(2) ก้านทั้งหมด $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) แผนที่ธรรมชาติ $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ จากมัดคงที่ทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมบนก้าน

(1) เป็นเรื่องง่ายเนื่องจากฟังก์ชันคือ $0$ ถ้ามันเป็น $0$ในประเทศ ฉันคิดว่า (2) และ (3) น่าจะง่ายเนื่องจากเราไม่มีข้อมูลมากนัก แต่ฉันไม่รู้ว่าจะใช้มันอย่างไร

ใน (2) ฉันรู้แผนที่ $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ เมื่อไหร่ $V\subseteq U$เป็นเพียงข้อ จำกัด ตามความหมายก้าน$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. แต่คุณจะแปลงนิยาม (กลุ่มของฟังก์ชันต่อเนื่อง) เป็นอย่างไร$A$เหรอ? ฉันรู้สึกเหมือนว่าเราขาดข้อมูลตรงนี้เนื่องจากเราไม่รู้โครงสร้างของเซตที่เปิดใน$X$และฉันไม่เห็นแผนที่ธรรมชาติใด ๆ จากขีด จำกัด โดยตรงถึง $A$.

(3) ยิ่งคลุมเครือสำหรับฉัน พูด$U$เปิด. คุณจับคู่องค์ประกอบโดยธรรมชาติได้อย่างไร$A=\mathfrak{A}$ไปยังฟังก์ชัน $U\to A$ ใน $\mathfrak{A}^+$เหรอ? ฉันรู้ว่าแผนที่เป็นไปตามแผนภาพดังนั้น$f_U(a)|_V=f_V(a)$ ที่ไหน $V\subseteq U$เป็นชุดเปิด ตาม (2) ก้านของทั้งสองคือ$A$แต่ฉันไม่คิดว่าแผนที่ที่เกิดขึ้นจะเป็นข้อมูลประจำตัวดังนั้นจึงทำให้ฉันเข้าใจได้ยากขึ้นว่าทำไมจึงเป็น iso?

ฉันเพิ่งเริ่มเรียนเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตดังนั้นคำถามเหล่านี้อาจชัดเจน ขอขอบคุณ.

Answer 1

(1) โดยทั่วไปมากขึ้น (และง่ายกว่ามาก!):
ให้พื้นที่ทอพอโลยีโดยพลการ$Y$ มีฟ่อน $\mathcal C_Y$ บน $X$ โดดเด่นด้วยข้อกำหนดสำหรับส่วนย่อยที่เปิดอยู่ $U\subset X$ เรามี $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$, ชุดฟังก์ชันต่อเนื่อง $U\to Y$.
ของคุณ$ \mathfrak A^+$ คือฟ่อน $\mathcal C_A$, ที่ไหน $A$ ได้รับการเสริมสร้างด้วยโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง

(2) เรามี morphism ของกลุ่ม Abelian $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ กำหนดไว้ดังนี้: ได้รับเชื้อโรค $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ เราแสดงโดยฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง $g:U\to A$ และเรากำหนด $i(\gamma)=g(x)$.
morphism นี้เป็น isomorphism เนื่องจากมีการผกผันของกลุ่ม morphism อย่างชัดเจน$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ การส่ง $a\in A$ ถึง $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, จมูกข้าวที่ $x$ ของฟังก์ชันคงที่ $\operatorname {const}(a): X\to A$ ส่งจุดใดก็ได้ $X$ ถึง $a$.

(3) สำหรับพื้นที่ใกล้เคียง $U\subset X$ ของ $x$ แผนที่ $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ มีความชัดเจนในเชิงรุกดังนั้นการ จำกัด แผนที่โดยตรง $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ยังเป็นแบบฉีด
การคาดเดาก็ง่ายเช่นกัน: ในสัญกรณ์ (b) เชื้อโรค$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ เป็นภาพด้านล่าง $f$ ของเชื้อโรค $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า morphism$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ แน่นอนเป็นอคติ