Sheafification ของ subpresheaf

Question

ปล่อย $\mathscr{F}$ เป็นฝักย่อยของฟ่อน $\mathscr{H}$. ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องในกรณีนี้ sheafification มีรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ เป็นฟ่อนที่กำหนดโดย$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ ที่เราพูดอย่างนั้น $s\in \mathscr{H}(U)$ ตั้งอยู่ในท้องถิ่น $\mathscr{F}$ มีฝาเปิดอยู่ไหม $\{U_i\}$ ของ $U$ ดังนั้น $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ สำหรับทุกๆ $i$.

เป็นที่ชัดเจนว่านี่เป็นฟ่อน แต่ฉันไม่เห็นว่ามันตรงตามคุณสมบัติสากลของการมัด

ฉันคิดจะทำในลักษณะต่อไปนี้: ฉันคิดว่าการก่อสร้างนี้เป็นเรื่องตลกใน $\mathscr{F}$. สมมติว่าได้รับ morphism$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ เราควรมี morphism ที่เกิดขึ้น $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับ morphism ดั้งเดิมของเราเมื่อ จำกัด อยู่ที่ $\mathscr{F}$. ถ้า$\mathscr{G}$ เป็นฟ่อน $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$และสิ่งนี้ทำให้เกิด morphism ที่เราต้องการ แต่ฉันไม่เห็นจริงๆว่าทำไมโครงสร้างนี้ถึงเป็นแนวตลก$\mathscr{F}$.

Answer 1

ให้มัด $\mathscr{G}$ และสัณฐานวิทยาของ presheaves $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$คุณสามารถสร้าง morphism ของ presheaves ได้โดยตรง (และดังนั้นของ sheavs) $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ ที่ขยายออกไป $f$. ระบุส่วน$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$เลือกฝาแบบเปิด $\{U_i\}$ ของ $U$ เช่นว่าข้อ จำกัด $s\mid_{U_i}$ นอนอยู่ $\mathscr{F}$. จากนั้นคุณสามารถสมัครได้$f$ ในแต่ละข้อ จำกัด เหล่านี้และติดภาพของพวกเขาเพื่อให้ได้มา $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. ไม่ยากที่จะตรวจสอบว่าสิ่งนี้มีการกำหนดไว้อย่างชัดเจนกล่าวคือไม่ขึ้นกับฝาเปิดและในความเป็นจริง$\widetilde{f}$ เป็นส่วนขยายเฉพาะของ $f$. หลังแสดงให้เห็นว่า$\widetilde{\mathscr{F}}$ คือการห่อหุ้ม

เกี่ยวกับ functoriality ที่คุณพูดถึงเนื่องจากคำจำกัดความของคุณต้องการการเลือกมัด $\mathscr{H}$ฉันไม่แน่ใจว่าจะเข้าใจสิ่งนี้ได้อย่างไร (แน่นอนว่าคุณรู้หลังจากข้อเท็จจริงที่ว่าการทำให้เป็นมัดเป็นเรื่องตลกโดยคุณสมบัติสากล)

Answer 2

ฉันทะลึ่ง $\mathscr H$ เป็นกลุ่มอาเบเลียนบนพื้นที่ทอพอโลยี $X$.
ตั้งแต่$\mathscr H$ เป็นฟ่อนโดยคุณสมบัติสากลของการหลอมรวมเป็นรูปแบบของการมัดก่อนมัด $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ ปัจจัยผ่าน $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. เพื่อดูว่า$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$เป็น isomorphism ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบที่ระดับของก้าน
สังเกตว่าในระดับของก้านเรามีสำหรับ$x\in X$พื้นที่ฐานองค์ประกอบ $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ ยิ่งไปกว่านั้น$j_x$คือ isomorphism สิ่งนี้มาจากการสร้างฉนวนกันความร้อน ด้วยประการฉะนี้$\bar \iota_x$ คือ isomorphism สำหรับทุกๆ $x\in X$ และด้วยเหตุนี้ $\bar \iota $ คือ isomorphism

หมายเหตุ:โครงสร้างมาตรฐานของ$\mathscr F^{sh}$ คือการพิจารณา $\mathscr F$ เป็นส่วนย่อยของฟ่อนก้าน $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ แล้วดูที่ $\tilde {\mathscr F}$ ในฟ่อนนี้