2 torba, mavi ve turuncu top
Urn 1'de 1 turuncu top ve 6 mavi top var. Urn 2'de 2 turuncu ve 5 mavi top var. Bir torbadan 3 top çektiğinizi varsayalım. Hangi torbayı kullanacağınıza karar vermek için 6 taraflı bir zar atarsınız. Çift sayı atarsanız 1. torbadan, tek sayı atarsanız 2. torbadan çekilir. Tam olarak bir turuncu top çekme olasılığı nedir?
Anlıyorum ki sende $0.5$ 1. torbadan çekilme şansı ve $0.5$ 2 torbadan çizim şansı. Bu soru için başlangıçta bir ağaç diyagramı çizdim ve bu da beni şu cevaba götürdü: $P(exactly\ 1\ orange) = 0.5(3/7 + 4/7)$. Benim sorunum, kombinasyonları içeren diğer çözüm.
$$P(1\ orange | Urn_1) = \frac{6 \choose 2}{7 \choose 3} = 15 / 35 = \frac{3}{7}$$ ve $$P(1\ orange | Urn_2) = 2 \left(\frac{5 \choose 2}{7 \choose 3} \right) = 20/35 = 4/7$$
Aklım yukarıdakilerin neden işe yaradığını anlayamıyor. Önümde seçeneklerin her birini manuel olarak hesapladığım bir ağaç diyagramı var, ancak ikisini birbiriyle ilişkilendiremiyorum.
Sonunda yapacağını biliyorum $$P(1\ orange) = 0.5 \left(P(1\ orange | Urn_1) + P(1\ orange | Urn_2) \right) = 0.5$$
Yanıtlar
Bence iki vakayı yazma şekliniz kuralı görmeyi zorlaştırıyor. Üç top çekiyorsanız ve tam olarak$1$turuncu, diğer ikisi mavi olmalıdır. Bir vazodan çizim yaparken$N_o$ turuncu toplar ve $N_b$ mavi toplar, sonra, içindeki tek turuncu topu seçebilirsiniz $N_o$ yollar ve mavi toplar ${N_b}\choose{2}$yollar; Olasılığı elde etmek için, bunların ürünü, toplam seçim yollarının sayısına bölünmelidir.$3$ toplar ${N_o+N_b}\choose{3}$: $$ P=\frac{N_o\cdot{{N_b}\choose{2}}}{{N_o+N_b}\choose{3}}. $$ Daha genel olarak, tam olarak çizim yapma olasılığını bulmak istiyorsanız $n_o$ turuncu toplar ve $n_b$ mavi toplar çizerken $n_o+n_b$ değiştirme olmadan, olurdu $$ P=\frac{{{N_o}\choose{n_o}}{{N_b}\choose{n_b}}}{{N_o+N_b}\choose{n_o+n_b}}. $$