Bir iç çarpım $\mathcal{C}[a,b]$

Question

İşlevsel olduğunu kanıtlamalıyım $$\langle f,g\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} f(s) \overline{g(t)}dsdt$$ bir iç üründür $\mathcal{C}[a,b]$ (karmaşık sürekli fonksiyonlar).

Bunu gösterdiğim yerde zaten benzer bir egzersiz yaptım $$\int_{a}^{b} f(t) \overline{g(t)} dt$$bir iç çarpımdır. Ve mülklerin çoğu aynı sebebi takip ediyor. Ama nasıl olduğunu göremiyorum$$\langle f,f\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} f(s) \overline{f(t)}dsdt = 0 \iff f \equiv 0.$$ İçerme $f=0 \Longrightarrow \langle f,f\rangle=0$ işlevsel olanın tanımından açıktır, ancak $\frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} = 0$ için $\pi(t-s) = n\pi$Diğer imayı anlayamıyorum. İle aynı$\langle f,f\rangle \geq 0.$

Answer 1

Yazmak

$$\langle f,f\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \int_0^1 \cos(\pi u(t-s))du\, f(s)\overline{f(t)}ds\,dt \\ = \int_0^1 \left(\int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds \int_a^b \cos(\pi u t) \overline{f(t)} ds\right. \\ +\left. \int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds \int_a^b \sin(\pi u t) \overline{f(t)} ds \right)du \\ = \int_0^1 \left(\left|\int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds\right|^2 + \left|\int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds\right|^2 \right)du.$$

Sonra, $\langle f,f\rangle \ge 0$, ve için $f\in C[a,b]$, $\langle f,f\rangle = 0$ iff $$ \int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds= \int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds = 0 $$ hepsi için $u\in [0,1]$ (her iki integralin de sürekli olduğunu gözlemleyerek $u$). Başka bir deyişle, Fourier dönüşümü$\hat g$ nın-nin $g(x) = f(x) \mathbf{1}_{[a,b]}$ kaybolur $[0,1]$. Dan beri$\hat g$ analitiktir, her yerde kaybolur, bu nedenle, $f = 0$ ae, nereden $f \equiv 0$ süreklilik nedeniyle.