Bu limit operasyonu yanlış mı?

Question

Limit toplama özelliğinin $\lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} \left( f(x)+g(x) \right) $ sadece bu sınırlar kendi başlarına zıt işaretlere sahip sonsuzluklar olmadığında geçerlidir, bu durumda sonuçta $\infty - \infty$bu mantıklı değil. İlginç integraller içinde, bölüm 1.6 kitabında aşağıdakileri buldum, toplamda iki sınır var ama bu$\infty - \infty$ yüzünden $\lim_{x \to 0} \ln{x}$bu yüzden bahsedilen toplama özelliğini uygulayamamalıyız, ancak yazarın her iki logaritmayı da eklediği için bunu yaptığını varsayıyorum. Burayı kontrol edin (ters türev kullanılır ve sonra iki integrale bölünür. Buna izin verilmemelidir çünkü ıraksak integrallerin farkı olarak yakınsak bir integrali ifade eder):

Sonunda doğru sonucu alır, ancak bu işlemin mutlaka temiz olduğu anlamına gelmez. Bunun yanlış olduğunu düşünüyorum ama bir kitapta böyle yanlış bir şey bulmak garip olacağı için sormaya karar verdim, bu yüzden emin olmak istedim. (Bu gerçekten doğruysa lütfen nedenini açıklayın)

Düzenleme: Kullanıcı sayesinde, orijinal integralin yakınsak olduğunu varsayarken yanılmışım. Standart entegrasyonla farklı olduğu ortaya çıktı.

Answer 1

Aslında yanlış, örneğin düşünelim

$$f(x)=1+\sin x \quad g(x)=1-\sin x$$

doğru olan şu ki $\lim_{x\to a} f(x)$ ve $\lim_{x \to a} g(x) $ her ikisi de sonlu veya aynı işaretle sonsuzdur, sonra toplam eşittir $\lim_{x \to a} \left( f(x)+g(x) \right) $, toplamı aynı zamanda $\infty$ aynı işaretli durum.

Sunulan örneğe göre, standart tanıma göre, iki integral ayrı ayrı değerlendirilmelidir ve her biri aynı zamanda integrali de bir bütün olarak ıraksadığı için. Ayrıca burada verilen yakınsama tanımına bakın .

Answer 2

İki şey vardır: Toplamın sınırı ve sınırların toplamı. Sadece her iki sınır da sonsuz olarak var olduğunda veya her ikisi de aynı işaretle sonsuzluğa ayrıldığında eşittir. Kitapta biri pozitif sonsuza, diğeri negatif sonsuza ayrılıyor. Yani, limitlerin toplamı$\neq$ toplam limiti.

Gerçek sınır her zaman toplamın sınırıdır. Dolayısıyla, tek bir işlevi elde etmek için önce işlevleri eklemek ve sınır uygulamak geçerlidir.

Yazar önce bunları tek bir işleve eklemiş ve ardından sınırları uygulamıştır. Yani bu geçerli bir işlem.

Benzer şekilde, @user tarafından yanıtlandığı gibi, sınır $$(\lim_{x\to ∞}(1+sinx))+(\lim_{x\to ∞}(1-sinx))\neq\lim_{x\to ∞}2$$

Gerçek sınır her zaman toplamın Sınırıdır, sınırların toplamı değil.