Bu operatörün normunu bulmak

Question

Bu boşluğa sahibim $X=C([-1,1],\mathbb{C})$ sürekli fonksiyonların alanı $[-1,1] \to \mathbb{C}$, İzin Vermek $t_1,\dots,t_n \in [-1,1]$ ve $c_1,\dots c_n\in \mathbb{C}$. Operatörü düşünün:$f: X \to \mathbb{C} $ gibi: $$f(x)=\sum_{j=1}^n c_j x(t_j).$$ Bunu kanıtlamalıyım $f$ dan sınırlı bir operatördür $X$ -e $\mathbb{C}$ ve bul $||f||$. Sınırlı olduğunu kanıtlamayı başardım, ancak bulmakta sorun yaşıyorum$||f||$. Hatırlayın ki norm$X$ ... $\sup$norm. Eğer ifade edersek$\gamma_j=||c_j|| $: $$\sup_{x\in X}\frac{||f(x)||}{||x||}=\sup_{x\in X}\frac{||\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)||}{||x||}=\sup_{x\in X} \sum_{j=1}^n \gamma_j \frac{||x(t_j)||}{||x||} $$ Açıkça $|| f||$ açıkça bağlıdır $\gamma_j$ama nasıl devam edeceğimi bilmiyorum ve bir şekilde daha açık bir sayı gösteriyorum. Herhangi bir fikir yardımcı olacaktır.

Answer 1

İpucu 1: Bir hata yaptınız, aşağıdaki eşitlik doğru değil:

$$ \sup_{x\in X}\frac{||\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)||}{||x||}\neq \sup_{x\in X} \sum_{j=1}^n \gamma_j \frac{||x(t_j)||}{||x||}$$

İpucu 2: Hepsi için$c_j \neq 0$ ile belirtmek $\omega_i:= \frac{c_j}{||c_j||}$.

Sonra $$\|\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)\| \leq \sum_{j=1}^n| c_j| | x(t_j)| \leq \sum_{j=1}^n| c_j| \| x\| $$

İlk eşitsizlik tam olarak ne zaman $$\overline{\omega_j} x(t_i)=|x(t_i)|$$ ikincisi eşitlik iken tam olarak ne zaman $$|x(t_i)|=\|x\|$$