Bunu göster $a,b \in \mathbb{R}^n$, sonra $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$
Bunu göster $a,b \in \mathbb{R}^n$, sonra $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$
Bizde var $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$
ve şu $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$
ancak buradan nasıl devam edebilirim bilmiyorum. Eğer alırsam$||a||-||b||$ Anladım $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$
bu hiç yardımcı olmuyor. Burada ne yapmalıyım?
Yanıtlar
$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$
Bu nedenle $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.
Benzer şekilde bizde $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$
Bu nedenle $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$
Yani $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$
Sinsi numara: yazmak $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$ve üçgen eşitsizliğini doğrudan kullanın.
@Siong Thye Goh çözümü zaten yaptığı gibi, bir şeyden bahsedeceğim.
$\blacksquare~$ İddia: Herhangi bir Vektör Alt Alanı için $(X, \| \cdot \|)$ nın-nin $~\mathbb{K}^{n}$aşağıdaki eşitsizliği tatmin ettik. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}
$\blacksquare~$Kanıt: Biz tarafından var$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} Sonra $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$
Dolayısıyla bizde var $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.
Eşitsizliği herhangi biri için kullanma $x, x_0 \in X~$ için $(X, \| \cdot \|)$ normlu bir doğrusal uzaydır ve $X$ alt uzayı $\mathbb{R}^n$çok önemli bir iddiamız var.
$\bullet~$ İddia: Harita$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$olduğu sürekli veya başka bir deyişle, norm $\| \cdot \|$bir sürekli.
$\bullet~$ Kanıt: Süreklilik tanımından, verilmiş herhangi bir$\epsilon > 0$var $\delta > 0$ öyle ki
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} önceki sorundan eşitsizliğe sahibiz \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} Bizim seçelim $\epsilon = \delta$. Bu nedenle biz var\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} Bu haritanın $\| \cdot \|$olan , sürekli olarak$x_{0}$. Gibi$x_{0}$bir rasgele , işlev$\| \cdot \|$tüm uzayda süreklidir $X$.
Bu, herhangi bir normun sonlu boyutlu bir vektör alt uzayında sürekli olmasının önemli kanıtını yapar .$\mathbb{K}^n$.
Yine de soruyla ilgili değil, spam ile ilgili bir niyet yok :)