Cantor setinin alışılmadık tanımı

Question

Kantor setlerinin birden fazla tanımını gördüm ama hepsi benimkinden farklı görünüyor. Kitabım bir kantor setini şu şekilde tanımlıyor:

Formun tüm gerçek sayılarının kümesi $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ nerede $a_{n}$ değerlerden birini veya diğerini alır $0$ veya $2$.

Bu nasıl bir set? "Nerede" ile ne demek istediklerini anlamıyorum$a_{n}$ değerlerden birini veya diğerini alır $0$ veya $2$"bunun anlamı mı $a_{n}$ alternatif gibi $0$, $2$, $0$, $2$? Bu sette bana bazı değerler verebilir misiniz? Ve her yerde gördüğüm bu görüntüyle ne alakası var?

Answer 1

Kitabınız, kantor setinin sayılar kümesi olduğu anlamına gelir $x$ şeklinde yazmak mümkün $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ bazı sıralar için $a_n$ her biri nerede $a_n$ ya $0$ veya $2$. Biraz daha az yoğun bir şekilde şunu da söyleyebilirsiniz:

• Bir sayı $[0,1]$ Cantor setinde, farklı güçlerin toplamının iki katı olarak yazılabiliyorsa $3$.

• Bir sayı $x$ içinde $[0,1]$ hiçbir zaman kullanmayan üçlü bir genişletmeye sahipse Cantor kümesinde $1$. (Bu, yukarıdakiyle aynıdır ve üçlü genişletmelerin yalnızca "bir ondalık nokta yazdıktan sonra birkaç sayı$\{0,1,2\}$ ve toplamını düşünün $n^{th}$ dönem süreleri $3^{-n}$ her şeyden önce $n$")

Özel $x$ nerede $a_n$ arasında değişir $0$ ve $2$ bu nedenle Cantor setindedir (bu $x$ eşit $1/4$), ancak sayılamayacak kadar çok sayıda başka dizi var $a_n$ tek değerleri kimin $0$ ve $2$tüm bunlar Cantor setinin farklı unsurlarını verir.

Gösterdiğiniz görüntü, bir aralık alarak ve her aralığın ortadaki üçte birini art arda kaldırarak aynı kümeyi oluşturmayı gösterir. Bu, gittikçe küçülen bir dizi dizi verir - ve tüm bu kümelerin kesişimi, kantor kümesidir ve kitabınızın tanımladığı kümeyle tamamen aynıdır. Eşdeğerlik en çok üçlü genişletmelerde belirgindir:

İlk başta, aralığa sahipsiniz $[0,1]$. Sonra aralığı kaldırırsınız$(1/3,2/3)$ çünkü üçlü genişlemelerinin ilk terimi $.1\ldots_3$yani istenen biçimde yazılamazlar. Sonra kaldırırsın$(1/9,2/9)$ ve $(7/9,8/9)$ üçlü genişlemeleri başlayan $.01\ldots_3$ ve $.21\ldots_3$ çünkü ilk rakamları tamam iken ( $0$ veya $2$), ikinci rakamları değildir. Daha sonra, üçlü genişlemeleri başlayan sayıları kaldırırsınız.$.001\ldots_3$ veya $.021\ldots_3$ veya $.201\ldots_3$ veya $.221\ldots_3$ ve benzeri - ve sonunda kalan tek sayı, yalnızca içeren üçlü genişletme ile yazılabilenler olacaktır. $0$'s ve $2$'s - kitabınızın belirttiği biçimde yazılabilen tam sayı kümesidir.