Cebirin Temel Teoremi Hakkında Soru

Question

Geçtiğimiz birkaç gündür Cebirin Temel teoremini inceliyorum ve sonraki soruma cevap bulmakta zorlanıyorum. Umarım birisi ışık saçar, böylece çalışmamda ilerleyebilirim.

Wikipedia'dan:

"Cebirin temel teoremi, karmaşık katsayılara sahip sabit olmayan her tek değişkenli polinomun en az bir karmaşık köke sahip olduğunu belirtir. Bu, gerçek katsayılı polinomları içerir, çünkü her gerçek sayı, hayali kısmı sıfıra eşit olan karmaşık bir sayıdır.

Teorem ayrıca şu şekilde ifade edilir: karmaşık katsayılara sahip sıfır olmayan, tek değişkenli, derece n polinomu, çoklukla sayılan, tam olarak n karmaşık köke sahiptir. İki ifadenin denkliği, birbirini izleyen polinom bölünmesi kullanılarak kanıtlanabilir. "

Sorum şu:

Karmaşık (hayali kısım dahil) katsayıları olan bir polinom diye bir şey var mı? Gibi bir polinom oluşturulabilir mi?$f(x) = (x-2)(x-i)(x+2i) = x^3 + (2+i)x^2 + (2+2i)x + 4$? Değilse, bunun nedeni polinomun katsayılarının hayali bir kısım içermesi mi yoksa basitçe karmaşık eşlenik kök teoremine meydan okuması mı?

Teşekkür ederim.

Answer 1

Karmaşık katsayılara ve karmaşık köklere sahip polinomları düşünmenin önünde hiçbir engel yoktur. Cebirin temel teoremi, bu polinomlarla ilgili bir iddiadır - her bir faktör, doğrusal faktörlerin bir ürünüdür.

Katsayılar gerçek olduğunda, kökler eşlenik çiftler halinde oluşmalıdır.

Yoruma yanıt olarak düzenleyin.

Kökler eşlenik çiftlerde ortaya çıkarsa, katsayılar gerçektir, çünkü $(x- r)(x-\bar r)$gerçek katsayılara sahiptir. Ancak kökler eşleşmelidir. Polinom$$ (x-i)^2(x+i) $$ vardır $i$ ve $-i$ kökler olarak ancak gerçek olmayan katsayılar.

Answer 2

Elbette karmaşık polinomlar mevcuttur.

Herhangi bir alanda bir polinom tanımlayabilirsiniz $\mathbb F$. Örneğin

$$ p(x) = x^2+x+1$$ alanın iki elemanlı bir polinomudur.

Halkalar üzerinde polinomları bile tanımlayabilirsiniz. $\mathbb Z$ polinom gibi

$$q(x) = 3x^3-x+27.$$

Answer 3

Bir gerçek polinom$f(X)$ (resmi olarak, polinom halkasının bir öğesi $\Bbb R[X]$) formdadır

$$f(X)=a_nX^n+\dots+a_0~~~a_j\in\Bbb R,\,a_n\ne0$$

Bir kompleks polinom$f(X)$ (resmi olarak, polinom halkasının bir öğesi $\Bbb C[X]$) formdadır

$$f(X)=a_nX^n+\dots+a_0~~~a_j\in\Bbb C,\,a_n\ne0$$

Alternatif olarak, ikinci durumda her $a_j$ formun bir temsilini kabul ediyor $a_j=x_j+iy_j$ nerede $x_j,y_j\in\Bbb R$.

---

Özellikle, her gerçek polinom karmaşık bir polinomdur (çünkü $\Bbb R\subset\Bbb C$) ama tersi değil. Sizin verilen polinom tamamen polinom olarak gayet over$\Bbb C$ancak üzerinde$\Bbb R$ gibi $i\notin\Bbb R$.