Eğer $G=AB$ çarpanlara ayırma st $q\not\mid |A|$ nerede $q$ asal, o zaman için $g\in G,a\in A$benzersiz bir $x_1\in A$ st $\alpha(gx_1^q)=a$.

Question

İzin Vermek $G$ değişmeli bir grup olmak ve $A,B$ alt kümeleri olmak $G$.
Varsayalım$AB$ çarpanlara ayırmaktır $G$yani her $g\in G$ formda benzersiz şekilde yazılabilir $ab$ nerede $a\in A$ ve $b\in B$. Buraya$a$ denir $A$-parçası $g$ ve ile gösterilir $\alpha(g)$.
İzin Vermek$q$ öyle bir asal olmak $q\not\mid |A|$.

Birini seçin $a\in A,g\in G$ ve tanımla $T$ hepsinin seti olmak $q$ demetler $$(x_1,\dots,x_q) \text{ where } x_1,\dots,x_q\in A$$ hangisi için $$\alpha(gx_1\dots x_q)=a.$$ Gerçeğini kullanarak $|T|=|A|^{q-1}$ ve grup eylemi (döngüsel permütasyon), bir $x_1\in A$ öyle ki $\alpha(gx_1^q)=a$. Burada göstermek istediğim şey şudur$x_1$ tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir $a$ ve $g$.

İzin Vermek $x_1,x_2\in A$ öyle ki $\alpha(gx_1^q)=a=\alpha(gx_2^q)$. Bunu göstermek istiyorum$x_1=x_2$. Var$b_1,b_2\in B$ öyle ki $gx_1^q=ab_1$ ve $gx_2^q=ab_2$. Sonra anladım$(x_1x_2^{-1})^q=b_1b_2^{-1}$. İspatı tamamlamak için bir fikre veya ipucuna ihtiyacım var.

Answer 1

Yorumumda açıklandığı gibi, eğer $A$ sonlu ise güvercin deliği prensibi ve haritanın $A\to A$ gönderme $x\mapsto \alpha(gx^q)$ örten, aynı zamanda enjekte edici olduğu anlamına gelir.

Öte yandan eğer $A$ sonsuzdur, aşağıdaki karşı örneğe sahibiz:

İzin Vermek $G=\mathbb{Z}$ ve $$A=\{6n,6n+1,6n+2| n\in \mathbb{Z}\},\qquad B=\{0,3\}$$ İzin Vermek $q=3$ (Durumu görmezden geliyorum $q\not\!||A|$ ne zaman $A$ sonsuz, ne anlama geldiği belli değil).

Sonra harita $x\mapsto \alpha(0+3x)$ne enjekte ne de kuşatıcıdır: \ begin {eqnarray} 0 & \ mapsto & 0, \\ 1 & \ mapsto & 0, \ end {eqnarray} ve$3x\neq1,4 \implies \alpha(0+3x)\neq 1$.