Einstein tensörünün Laplace operatörünün hesaplanması

Question

Relativity'de yeniyim ve şu hesaplamayı anlamaya çalışıyorum: $$ (\nabla^\mu G)_{\mu\nu}=0 $$ nerede $G=Ric-\frac{1}{2}\mathcal{R}g $ Einstein tensörüdür ve $\nabla^\mu=\nabla_{\partial^\mu} $, nerede $\partial^\mu=g^{\mu\nu}\partial_\nu $ (standart gösterim olup olmadığını bilmiyorum).

Doğrusallığı kullanıyorum $\nabla$Leibniz kuralını uygulamaya çalıştığımda ikinci dönemde sıkıntılar başlıyor. Yazardım

$$ (\nabla^\mu G)_{\mu\nu} = (\partial^\mu\mathcal{R})g_{\mu\nu} + \mathcal{R}(\nabla^\mu g)_{\mu\nu} $$

ama notlarım görünüşe göre bunu kullanıyor $$ \mathcal{R}(\nabla^\mu g)_{\mu\nu} = 0 $$çünkü ihmal ediyorlar. Öyle mi? Biri nedenini açıklayabilir mi?

Not: Bu alanda gerçekten acemi olduğum için saçmalık yazabilirim.

Answer 1

$\nabla^\mu g_{\mu\nu}\neq \partial^\mu g_{\mu\nu}$ama bu doğru $\nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$ Çünkü $\nabla^\mu g_{\mu\nu} = g^{\alpha\mu}\nabla_\alpha g_{\mu\nu}$ ve $\nabla_\alpha g_{\mu\nu}=0$çünkü genel görelilikte genellikle metrik uyumlu olan Levi-Civita bağlantısıyla çalışırsınız . Yani,$\nabla g=0$.