Formül sınırı kavramı var mı

Question

Formüllerin (ve yapıların) sınırı gibi bir kavram olup olmadığını merak ediyorum çünkü sayılabilir yapıları (sonlu yapılardan) tanımlamada önemli olduğuna inanıyorum. (Daha fazla ayrıntı için bu makaleye bakın .) Şimdi onu açıklayan mükemmel bir örnek vereceğim. Örnek sözde Quine atomudur. İzin Vermek$$ I_n=\{I_{n-1}\},\quad\text{for } n\geqslant1, \:\text{and } I_0=G_0. $$ Nerede $G_0\neq\{G_0\}$. Genişletme aksiyomunu tekrar tekrar uygulayarak,\begin{align} \phi_n&\iff\exists !\:y_n\in I_n \\ &\iff \exists !y_n(y_n=I_{n-1}) \\ &\iff\exists !y_n((\exists !y_{n-1}\in y_n)(y_{n-1}\in I_{n-1})\land (\exists !y_{n-1}\in I_{n-1})(y_{n-1}\in y_n)) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n\land y_{n-1}\in I_{n-1}) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \exists !y_{n-1}(y_{n-1}=I_{n-2}) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land\exists !y_{n-1}((\exists !y_{n-2}\in y_{n-1})(y_{n-2}\in I_{n-2})\land(\exists !y_{n-2}\in I_{n-2})(y_{n-2}\in y_{n-1})) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \exists !y_{n-1}\exists !y_{n-2}(y_{n-2}\in y_{n-1}\land y_{n-2}\in I_{n-2}) \\ &\quad\:\vdots \\ &\iff \exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \bigwedge_{1\leqslant j\leqslant n-1}\exists !y_j\exists !y_{j-1}(y_{j-1}\in y_{j})\quad\quad\quad\quad\text{(1)} \end{align} Açıkça, herhangi biri için $n<\omega$, $I_{n}\models \phi_n$. Bu, formüllerin sınırını aşağıdaki gibi tanımlayabileceğimizi gösteriyor.

Düzenleme: @ Goldstern'in örneğinde belirtildiği gibi, limit formülleri çok genel olamaz. Bu yüzden onları bir$\aleph_0$- kategorik teori. (Yine de, sayıca doymuş bir yapı teorisine genişletilebilir.)

Tanım 1 : Herhangi biri için varsayalım$n<\omega$, $\varphi_{n}$ içinde $\aleph_0$- kategorik teori $T$ içinde $L$ (sonsuz bir dil $L_{\omega_1, \omega}$) ve $M_{n}\models \varphi_{n}$. Eğer varsa$n$, var $N_n$ bu herhangi biri için $k>N_n,\:M_{k}\models \varphi_{n}$, sonra $\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_{n}$ (benzersiz) bir formüldür (denkliğe kadar) $L$, ve $\lim_\limits{n\to\omega}M_{n}$ bir (benzersiz) $L$yapı. İzin Vermek$\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_{n}=\varphi_{\omega}$ ve $\lim_\limits{n\to\omega}M_{n}=I_{\omega}$. Sonra$M_{\omega}\models \varphi_{\omega}$.

Ayrıca aşağıdaki aksiyomlar formüllerin sınırı için geçerlidir.

1. $\lim_\limits{n\to\omega}(\phi_{n}\land\varphi_n)=\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}\land\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_n$
2. $\lim_\limits{n\to\omega}\neg\phi_{n}=\neg\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$
3. $\lim_\limits{n\to\omega}\exists x\phi_{n}=\exists x\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$
4. $\lim_\limits{n\to\omega}\bigwedge_\limits{1\leqslant j\leqslant n}\phi_j=\bigwedge_\limits{ n<\omega}\phi_n$

Yukarıdaki aksiyomlardan şunu kanıtlayabiliriz:

1. $\lim_\limits{n\to\omega}(M_{n-1}\in M_n)=\lim_\limits{n\to\omega}M_{n-1}\in \lim_\limits{n\to\omega}M_{n}$

2. $\lim_\limits{n\to\omega}\exists x_n(M_{n-1}\in M_n)=\exists\lim_\limits{n\to\omega} x_n(\lim_\limits{n\to\omega}M_{n-1}\in \lim_\limits{n\to\omega}M_{n})$

(Ayrıntılı provalar için bu makaleye bakın .)

$\operatorname{Th}(I_n)$ dır-dir $\aleph_0$-kategorik çünkü herhangi $I_i$ bire bir ile eşleştirilebilir $I_j$ve homojendir. Küme teorisinin dili sonlu ilişkisel olduğundan,$\operatorname{Th}(I_n)$ dır-dir $\aleph_0$-kategorik. Tanım 1 ve (1) 'e göre bunu görebiliriz$\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$ ve $\lim_\limits{n\to\omega}I_{n}$ikisi de benzersizdir. İzin Vermek$\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}=\phi_{\omega}$ ve $\lim_\limits{n\to\omega}I_{n}=I_{\omega}$. Sonra$I_{\omega}\models \varphi_{\omega}$. Ayrıca\begin{align} \phi_{\omega}&=\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n} \\ &=\lim_\limits{n\to\omega}\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \lim_\limits{n\to\omega}\bigwedge_{1\leqslant j\leqslant n-1}\exists !y_j\exists !y_{j-1}(y_{j-1}\in y_{j}) \\ &=\exists !I_{\omega}(I_{\omega}\in I_{\omega})\land \bigwedge_{n<\omega}\exists !y_n\exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_{n})\quad\quad\quad(\lim_\limits{n\to\omega}y_n=I_{\omega}) \end{align}

Böylece $I_{\omega}=\{I_{\omega}\}$yani $I_{\omega}$ bir Quine atomudur.

Formüllerin sınırı (sonlu yapılar için) Quine atomunu tamamen tanımlayabildiğinden, sayılabilir yapıların araştırılmasında önemli bir rol oynayacağına inanıyorum. Yukarıdaki formül ve akıl yürütme sınırı kavramının mevcut model teorisinde bulunmadığını ve bu nedenle yeni bir araştırma alanına ait olduğunu doğrulamak isterim.

Düzenleme: Şimdi, model teorisinde bilinen bazı sonuçları incelemek için formüllerin sınırının nasıl uygulanacağına dair iki örnek vereceğim.

Örnek 1: Standart olmayan sayı teorisinde keyfi büyük sayı vardır.

İzin Vermek $\phi_n=\exists x\bigwedge_\limits{m\leqslant n}(x>m)$ ve $M_n\models \phi_n$. Herhangi biri için$k>n, \:x>k\to x>n, \:M_k\models \phi_n$. Yani sınırı$\phi_n$ var ve $$ \lim_\limits{n\to\omega}\exists x\bigwedge_\limits{m\leqslant n}(x>m)=\exists x\bigwedge_\limits{n<\omega}(x>n) $$ Ve bir $M\models \exists x\bigwedge_\limits{n<\omega}(x>n)$.

İkinci örnek, uç noktaları olmayan DLO teorisinin tamsayı kaymalarının birleşiminin sınırı olduğunu göstermektedir.

Örnek 2: Varsayalım$T$ uç noktaları olmayan DLO teorisidir ve $M_n=\bigcup_\limits{1\leqslant j<n}(\Bbb{Z}+j/n)$. Sonra$\lim_\limits{n\to\omega}\bigcup_\limits{n<\omega}M_n=\Bbb{Q}$ ve $T = Th(\Bbb{Q})$.

Varsayalım $\varphi_n,\phi_n,\delta_n$ Doğrusal sıralamanın özelliklerini, yoğun bir alt küme ve uç noktaları olmayan kümeleri belirten cümlelerdir. $M_n$. Sonra

\begin{align} \varphi_n &= (∀x,y,z∈M_n)(x≤x∧(x≤y∧y≤x⇒x=y)∧(x≤y∧y≤z⇒x≤z)) \\ \phi_n &= (∀x,y∈M_n)(x<y⇒(∃z∈M_{l})(l>n∧x<z<y)) \\ \delta_n &= (∀x∈M_n)((∃y∈M_n)(y<x)∧(∃y∈M_{n})(x<y)) \end{align} Herhangi $x,y∈M_{n}\:(x<y)$, Ayarlamak $N_{n}=2n$. Sonra$∀k>N_{n},\:∃z∈M_{k}$ o $x<z<y$yani $M_{k}\models φ_{n}$. Dan beri$ℤ\modelsϕ_{n}∧δ_{n},\:M_{k}\models ϕ_{n}∧φ_{n}∧δ_{n}$ ve $T$ dır-dir $ℵ_0$-kategorik, $\lim_\limits{n\to\omega}M_n$benzersiz. Ve\begin{align} \lim_\limits{n\to\omega}ϕ_{n} &=(∀x,y,z∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x≤x∧(x≤y∧y≤x⇒x=y)∧(x≤y∧y≤z⇒x≤z)) \\ \lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n} &=(∀x,y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<y⇒(∃z∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<z<y)) \\ \lim_\limits{n\to\omega}δ_{n} &=(∀x∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)((∃y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(y<x)∧(∃y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<y)) \end{align} Dan beri $\lim_\limits{n\to\omega}ϕ_{n},\lim_\limits{n\to\omega}φ_{n}, \lim_\limits{n\to\omega}δ_{n}$ aksiyomları $Th(\Bbb{Q}),\: \lim_\limits{n\to\omega}M_n=\Bbb{Q}$ ve $T = Th(\Bbb{Q})$.

Answer 1

Hangi set-teorik aksiyomları kullanmak istediğinizden emin değilim. Kesinlikle vakıf değil, ama sanırım en azından singleton aksiyomuna izin veriliyor.

Düşünmek $M_0:= \{x\}$, nerede $x$ tatmin edici herhangi bir unsur mu $x\not=\{x\}$. $M_{n+1}:=\{M_n\}$. İzin Vermek$\varphi_n$ olmak $\phi_n \wedge \psi$, nerede $\phi_n$ senin formülün ve $\psi$benzersiz unsurun kendisinin bir unsuru olmadığını söylüyor. Sonra argümanlarınıza göre limit$M_\omega$ tatmin etmeli $M_\omega = \{M_\omega\}$ama aynı zamanda tatmin etmelidir $\psi$bu bir çelişkidir.

Böylece, aksiyomlarınız ve kurallarınız, $x=\{x\}$ hepsi için $x$.

Bir şeyi kaçırmış olabilirim. Aslında, sadece hangi resmi dili kullandığınızı tahmin ediyorum.