Fourier ters çevirme formülünde

Question

Belirli bir işlev için $f\in L^1(\mathbb{R})$varsayalım ki
$$\check{f}(x)=\int_\mathbb{R} \hat{f}(\zeta)e^{2\pi i\zeta x}d\zeta$$ neredeyse her yerde birleşir $\mathbb{R}$. O zaman şunu söyleyebilir miyiz$f=\check{f}$neredeyse heryerde? Cevap HAYIR ise, Lebesgue ölçümünün$\{x: f(x)\neq\check{f}(x)\}$ sonsuz olmak?

Answer 1

Not: "Yakınsama" kelimesini doğru anladığımdan emin değilim.

Bu, klasik olan Fourier serilerinin yakınsamasıyla ilgili benzer soruya tamamen benzer.

İzin Vermek $$g(x,r) = \int_{-r}^r \hat f(\zeta) e^{2\pi i \zeta x} d\zeta$$ ters Fourier dönüşümünün "kısmi toplamları" ile ve $$h(x, r) = \int_0^1 g(x, r t) dt = \int_{-r}^r \hat f(\zeta) e^{2\pi i \zeta x} (1 - \tfrac{|\zeta|}{r}) d\zeta $$ Cesàro ortalamaları $g$.

Plancherel'in teoremine göre, $g(\cdot, r)$ evrişimi $f$ işlevi ile $\phi_r(x) = 2 r \operatorname{sinc}(\pi r x)$(Fourier serisi teorisinde Dirichlet çekirdeği ile aynı rolü oynar). Benzer bir yolla,$h(\cdot, r)$ evrişimi $f$ bir ile $\psi_r(x) = r (\operatorname{sinc}(\pi r x))^2$ (Fejér çekirdeğinin sürekli karşılığı olarak hizmet eder).

Dan beri $\psi_r(x)$ yaklaşık bir kimliktir $r \to \infty$ (yani: $\psi_r(x) = r \psi_1(r x)$, $\psi_r(x) \ge 0$ ve $\int_{-\infty}^\infty \psi_r(x) dx = 1$) ve ayrıca $\psi_1$ "radyal olarak azalan" ve integrallenebilir bir fonksiyonla sınırlandırılmıştır: $\psi_1(x) \leqslant \min\{1, 1 / (\pi x)^2\}$. Bu, işlevlerin$f * \psi_r$ yakınsamak $f$ gibi $r \to \infty$ neredeyse her yerde (ve ayrıca $L^1$); bakınız, örneğin, David McCormick ve José Luis Rodrigo tarafından yazılan Advanced Real Analysis in Corollary 2.43 , buradan ulaşılabilir . Bu nedenle$h(x, r) \to f(x)$ hemen hemen her yerde $r \to \infty$ (Bu, yukarıda bağlantısı verilen kitapta Sonuç 2.43'ün kanıtının hemen altında belirtilmiştir).

Sabit bir $x$, Eğer $g(x, r)$ sınırı vardır $r \to \infty$, o zaman sınır mutlaka Cesàro ortalamasının sınırına eşittir $h(x, r)$. Böylece, eğer$g(x, r)$ neredeyse hepsi için birleşir $x$ gibi $r \to \infty$, o zaman limit eşittir $f(x)$ neredeyse heryerde.

Answer 2

Yanılıyor olabilirim, ancak sorunuzun aşağıdaki yeniden formüle edilmesi mümkün olan en geniş soru gibi görünüyor.

Soru: izin ver $u\in L^1$, Böylece $\hat u\in L^\infty$ düzenlenmiş bir dağıtımdır ve dolayısıyla $v=F^{-1}\hat u$iyi tanımlanmış temperlenmiş bir dağılımdır. Varsayalım$v$ bir fonksiyondur, yani yerel olarak entegre edilebilir bir fonksiyonla çakıştığı anlamına gelir $w$dağıtım anlamında. O zaman doğru mu$w=u$ ae?

Bu nedenle varsayım, herhangi bir test işlevi için $\phi$ sahibiz $v(\phi)=\int w \phi$, bir dağılımın Fourier dönüşümünün tanımı gereği, $\int\hat u\cdot F^{-1}\phi=\int w\phi$ yani $\int u FF^{-1}\phi=\int w\phi$ tüm test fonksiyonları için $\phi$. Açıkçası takip ediyor$u=w$ ae